1. 某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图。小李量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB = 15°，则这个正多边形的边数是()

A.6
B.8
C.10
D.12

D

设正多边形的边数为n，其中心角为θ=360°/n。∠ACB是边与对角线的夹角，为圆周角，所对弧的中心角为θ，故∠ACB=θ/2=15°，则θ=30°。由θ=360°/n=30°，解得n=12。

2. 一款儿童小推车的示意图如图所示。若AB//CD，∠1 = 30°，∠2 = 70°，则∠3的度数为()

A.40°
B.35°
C.30°
D.20°

A

延长AB交∠1的另一边于点E，因为AB//CD，所以∠AED=∠1=30°。在△AED中，∠2是外角，∠2=∠3+∠AED，所以∠3=∠2-∠AED=70°-30°=40°。

3. 图①是一种常见的跷跷板，图②是跷跷板的示意图。支柱OC与地面垂直，O是AB的中点，AB绕着点O上下转动。若A端落地时，∠OAC = 30°，则跷跷板上下可转动的最大角度(即∠AOA')为()

A.45°
B.50°
C.60°
D.75°

C

∵O是AB中点，∴OA=OB。OC⊥地面，A端落地时∠OAC=30°，在Rt△OAC中，∠OCA=90°，∠OAC=30°，∴∠AOC=60°。当跷跷板转动到另一端B落地时，同理∠B'OC=60°。跷跷板上下转动的最大角度∠AOA'=∠AOC+∠B'OC=60°+60°=120°（此处错误，应为：A端从最高位置到落地位置，最高位置时OA与OC共线，落地时∠AOC=60°，故∠AOA'=60°）。正确思路：A端落地时，在Rt△OAC中，∠OAC=30°，则∠AOC=60°，此角度即为跷跷板从竖直位置（最高）到A端落地的转动角度，即∠AOA'=60°。

4. 如图，∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。若AB = 20，AC = 10，则BE = 。

5

连接CD、BD。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线性质）。
∵DG垂直平分BC，∴DB=DC（垂直平分线性质）。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，$\{\begin{array}{l} DB=DC\\ DE=DF\end{array} $，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF，设BE=CF=x。
在Rt△AED和Rt△AFD中，$\{\begin{array}{l} AD=AD\\ DE=DF\end{array} $，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF。
∵AE=AB-BE=20-x，AF=AC+CF=10+x，∴20-x=10+x，解得x=5。

5. 如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE = 4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点。当EP + FP的值最小时，BF = 5，则AF的长为。

2

作点E关于CD的对称点E'，连接E'F交CD于P，此时EP+FP=E'F最小。等边△ABC中，设边长为a，BE=4，则E(a-4,0)，E'对称点为(4-a,0)。F在AB上，BF=5，∠B=60°，过F作FG⊥BC，得BG=BF·cos60°=2.5，FG=BF·sin60°=5√3/2，故F(a-2.5,5√3/2)。AB斜率为-√3，E'F⊥AB（距离最短），E'F斜率为√3/3。由E'(4-a,0)与F(a-2.5,5√3/2)斜率公式：5√3/(4a-13)=√3/3，解得a=7。AF=AB-BF=7-5=2。

6. 提升题 在△ABC中，AB = AC = 12√{2}，∠BAC = 90°，AF在∠BAC的内部，且AF = AB，分别将AB，AC向AF对折，使得AB，AC都与AF重合，折痕AD，AE分别交BC于点D，E。若DE = 10，则AD的长为。

4√10或6√5

在△ABC中，AB=AC=12√2，∠BAC=90°，则BC=√(AB²+AC²)=24。将AB、AC向AF对折，折痕AD、AE，得△ABD≌△AFD，△ACE≌△AFE，故BD=FD=m，EC=FE=n，∠AFD=∠AFE=45°，∠DFE=90°。在Rt△DFE中，m²+n²=10²=100，且m+n=BC-DE=14，解得m=8，n=6或m=6，n=8。
在△ABD中，作DM⊥AB于M，∠ABD=45°，则BM=DM=h，AM=12√2 - h，BD=m。由勾股定理，2h²=m²，h=m/√2。在Rt△ADM中，AD²=(12√2 - m/√2)² + (m/√2)²=288 -24m + m²。
当m=8时，AD²=288 -24×8 +8²=160，AD=4√10；当m=6时，AD²=288 -24×6 +6²=180，AD=6√5。根据题意，AD=4√10。

7. 如图，在△ABC中，AB = AC，P是高CE上一点，∠EPB = 2∠PBC。
(1)试说明BP⊥AC；
(2)若EP = 6，BP = 10，求AB的长。

解：（1）如图，延长BP交AC于点D。

∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠EPB=2∠PBC=∠PBC+∠PCB
∴∠PBC=∠PCB
∴CE⊥AB
∴∠PBC+∠ACB=∠PCB+∠ABC=90°
∴∠BDC=90°
∴BP⊥AC
（2）设AB=AC=a,则AE=AB-BE=a-BE
∵CE⊥AB，EP=6,BP=10
∴BE=√BP²-EP²=√10²-6²=8
∵∠PBC=∠PCB
∴PC=PB=10
∴CE=EP+PC=16
在Rt△ACE中，AE²+CE²=AC²
即（a-8)²+16²=a²
解得a=20
∴AB=20