1. 在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点。若点$P(-2,2)$,$Q$是$y$轴上一点,则使$△ OPQ$为等腰三角形的点$Q$的个数为()

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

B

设Q(0,y)，O(0,0)，P(-2,2)，OP=√[(-2)²+2²]=2√2。分三种情况：
1. OP=OQ：|y|=2√2，得Q(0,2√2)或(0,-2√2)；
2. OP=PQ：√[(-2)²+(y-2)²]=2√2，解得y=4或y=0（y=0与O重合，舍去），得Q(0,4)；
3. OQ=PQ：|y|=√[(-2)²+(y-2)²]，解得y=2，得Q(0,2)。
综上，Q点有4个。

2. 如图①,$△ ABC$是等边三角形,点$D$在边$AC$上,点$E$在$AB$的延长线上。若$ED⊥ AC$,交$BC$于点$P$,且$AD = 4$,$BP = 2$,则$PC =$。
【变式练习】如图②,若等边三角形$ABC$的边长为$6$,过$AB$边上一点$P$作$PE⊥ AC$于点$E$,$Q$为$BC$延长线上一点,取$PA = CQ$,连接$PQ$,交$AC$于点$M$,则$EM$的长为。

4；3

原题：设等边△ABC边长为x，则AC=AB=BC=x。AD=4，故DC=x-4。ED⊥AC，∠A=60°，则Rt△ADE中∠AED=30°，AE=2AD=8，BE=AE-AB=8-x。BP=2，故PC=x-2。在Rt△PDC中，∠C=60°，∠DPC=30°，则PC=2DC，即x-2=2(x-4)，解得x=6，PC=6-2=4。
变式练习：设PA=CQ=m，PE⊥AC，∠A=60°，则AE=m/2，EC=6-m/2。过Q作QF⊥AC延长线于F，∠QCF=60°，则CF=m/2，QF=(m√3)/2=PE。△PEM≌△QFM（AAS），EM=FM。设EM=x，则FM=x=MC+CF=(6-m/2 -x)+m/2，解得x=3。

3. 提升题如图,$△ ABC$为等边三角形,$D$是$BC$边上异于点$B$,$C$的任意一点,$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$。若$BC$边上的高$AM = 10$,则$DE + DF$的值为()


A.$5$
B.$10$
C.$8$
D.$6$

B

连接AD，设等边△ABC的边长为a。
∵AM是BC边上的高，AM=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AM=$\frac{1}{2}$×a×10=5a。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AB=AC=a，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DE=$\frac{1}{2}$×a×DE，
S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×DF=$\frac{1}{2}$×a×DF。
∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴5a=$\frac{1}{2}$a×DE + $\frac{1}{2}$a×DF，
即5a=$\frac{1}{2}$a(DE+DF)。
两边同除以$\frac{1}{2}$a（a≠0），得DE+DF=10。

【变式练习1】已知:如图,在$△ ABC$中,$D$为$BC$的中点,$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$,且$BE = CF$。
求证:$DE = DF$。

证明：
因为$D$为$BC$的中点，
所以$BD = CD$，
因为$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，
所以$∠ BED=∠ CFD = 90^{\circ}$，
在$Rt△ BED$和$Rt△ CFD$中，
$\begin{cases}BD = CD,\\BE = CF.\end{cases}$
根据“$HL$”（斜边直角边公理），
$Rt△ BED≌ Rt△ CFD$，
所以$DE = DF$。

【变式练习2】已知:如图,$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$,$BD = CD$,$BE = CF$。
求证:$DE = DF$。

证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
BD=CD，
BE=CF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴DE=DF。