知识梳理
1. 等式的性质 1：等式两边都加上（或都减去）同一个或同一个，所得的结果仍是。
2. 等式的性质 2：等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为)，所得的结果仍是。
3. 方程两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，方程的解不变。方程两边都乘以(或都除以)同一个不等于的数，方程的解不变。

1. 数，整式，等式；2. 0，等式；3. 0。

根据等式的性质和方程的性质进行填空。等式的性质1强调等式两边加上或减去同一个数或整式结果仍是等式，等式的性质2强调等式两边乘或除以同一个非零数结果仍是等式，方程的变形也遵循等式的这些性质。

重难点 1 等式的性质
【典例 1】下列运用等式性质进行的变形，正确的是（D）
A. 如果 $a = b$，那么 $a + c = b - c$
B. 如果 $a^{2} = 3a$，那么 $a = 3$
C. 如果 $a = b$，那么 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$
D. 如果 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，那么 $a = b$
解析：A. 当 $a = b$ 时，$a + c = b + c$ 或 $a - c = b - c$，故 A 错误；B. 当 $a = 0$ 时，此时 $a ≠ 3$，故 B 错误；C. 当 $c = 0$ 时，此时 $\frac{a}{c}$ 与 $\frac{b}{c}$ 无意义，故 C 错误；故选 D.

D

A 选项，根据等式性质，等式两边加上（或减去）同一个整式，等式仍成立，若$a=b$，则$a + c = b + c$，而不是$a + c = b - c$，所以 A 错误；
B 选项，由$a^{2}=3a$，移项可得$a^{2}-3a = 0$，提取公因式$a(a - 3)=0$，则$a = 0$或$a = 3$，不一定$a = 3$，所以 B 错误；
C 选项，根据等式性质，等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等，当$c = 0$时，$\frac{a}{c}$与$\frac{b}{c}$无意义，所以 C 错误；
D 选项，因为$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，说明$c≠0$，等式两边同时乘以$c$，可得$a = b$，所以 D 正确。

【对点训练】
1. 下列等式变形，正确的是()
A. 由 $1 - 2x = 6$，得 $2x = 6 - 1$
B. 由 $-x = 8$，得 $x = 4$
C. 由 $x - 2 = y - 2$，得 $x = y$
D. 由 $ax = ay$，得 $x = y$

C

A. 由 $1-2x=6$，根据等式性质，移项得 $-2x=6-1$，而非 $2x=6-1$，所以此选项错误。
B. 由 $-x=8$，两边同时乘以-1，得 $x=-8$，而非 $x = 4$，所以此选项错误。
C. 由 $x - 2 = y - 2$，两边同时加上 $2$，得 $x = y$，此选项正确。
D. 由 $ax=ay$，当 $a = 0$ 时，$x$ 和 $y$ 不一定相等，只有当 $a≠0$ 时，才能得到 $x = y$，所以此选项错误。

重难点 2 方程的变形规则
【典例 2】下列根据等式的性质变形正确的是（B）
A. 由 $\frac{x}{2} = 2$，得 $x = 1$
B. 由 $3(x - 2) = 6$，得 $x - 2 = 2$
C. 由 $x - 2 = 6$，得 $x - 2 + 2 = 6$
D. 由 $2x + 3 = x - 1$，得 $2x + x = -1 - 3$
解析：A. 由 $\frac{x}{2} = 2$，得 $x = 4$，所以 A 选项不符合题意；B. 由 $3(x - 2) = 6$，得 $x - 2 = 2$，所以 B 选项符合题意；C. 由 $x - 2 = 6$，得 $x - 2 + 2 = 6 + 2$，所以 C 选项不符合题意；D. 由 $2x + 3 = x - 1$，得 $2x - x = -1 - 3$，所以 D 选项不符合题意；故选 B.

B

A. 由 $\frac{x}{2} = 2$，根据等式性质2，两边同时乘2，得 $x = 4$，所以A选项变形错误；
B. 由 $3(x - 2) = 6$，根据等式性质2，两边同时除以3，得 $x - 2 = 2$，所以B选项变形正确；
C. 由 $x - 2 = 6$，根据等式性质1，两边同时加2，得 $x - 2 + 2 = 6 + 2$，即$x=8$，所以C选项变形错误；
D. 由 $2x + 3 = x - 1$，根据等式性质1，两边同时减去$x$且减去3，得 $2x - x = -1 - 3$，即$x = -4$，所以D选项变形错误；
综上所述，只有B选项变形正确。

【对点训练】
2. 下列变形正确的是()
A. $4x - 5 = 3x + 2$ 变形得 $4x - 3x = -2 + 5$
B. $\frac{2}{3}x - 1 = \frac{1}{2}x + 3$ 变形得 $4x - 1 = 3x + 18$
C. $3(x - 1) = 2(x + 3)$ 变形得 $3x - 1 = 2x + 6$
D. $3x = 2$ 变形得 $x = \frac{2}{3}$

D

A选项，根据等式性质，$4x - 5 = 3x + 2$变形，应该为$4x-3x=2 + 5$，而不是$4x - 3x = -2 + 5$，所以A选项错误。
B选项，方程$\frac{2}{3}x - 1 = \frac{1}{2}x + 3$两边同时乘以$6$，得到$\frac{2}{3}x×6-1×6=\frac{1}{2}x×6 + 3×6$，即$4x-6 = 3x+18$，而不是$4x - 1 = 3x + 18$，所以B选项错误。
C选项，方程$3(x - 1) = 2(x + 3)$，根据乘法分配律去括号得$3x-3 = 2x + 6$，而不是$3x - 1 = 2x + 6$，所以C选项错误。
D选项，方程$3x = 2$两边同时除以$3$，得到$x=\frac{2}{3}$，所以D选项正确。