基础巩固
1. 根据等式的性质，下列变形错误的是()
A. 若 $a = b$，则 $a - 1 = b - 1$
B. 若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{2}$，则 $a = b$
C. 若 $a = b$，则 $-3a = -3b$
D. 若 $ac = bc$，则 $a = b$
2. 下列是根据等式的性质进行变形，正确的是()
A. 若 $x = y$，则 $x + 5 = y - 5$
B. 若 $a - x = b + x$，则 $a = b$
C. 若 $ax = ay$，则 $x = y$
D. 若 $\frac{x}{2} = \frac{y}{2}$，则 $x = y$
3. 已知 $ax = ay$，下列等式变形不一定成立的是()
A. $b + ax = b + ay$
B. $x = y$
C. $x - ax = x - ay$
D. $\frac{ax}{a^{2} + 1} = \frac{ay}{a^{2} + 1}$
4. 用适当的数或式子填空.
(1)若 $2x + 5 = 8$，则 $2x = 8 -$；
(2)若 $5x = -2x + 7$，则 $5x +$$ = 7$；
(3)若 $5x - 1 = 2x + 8$，则 $5x -$$ = 8 +$.
5. 由 $3x = 2x + 1$ 变为 $3x - 2x = 1$，是方程的两边同时加上，结果依旧是等式.
6. 已知 $x - 3y = 2$，则代数式 $-x + 3y + 5 =$.
7. 已知 $\frac{3}{4}m - 1 = \frac{3}{4}n$，试用等式的性质比较 $m$ 与 $n$ 的大小.

1. D
2. D
3. B
4. (1)5；(2)$2x$；(3)$2x$，$1$；
5. $-2x$；
6. $3$；
7. $m＞n$

1.对选项逐个分析：
A 选项：根据等式性质$1$，等式两边同时减去$1$，等式仍然成立，该变形正确。
B 选项：根据等式性质$2$，等式两边同时乘$2$，等式仍然成立，该变形正确。
C 选项：依据等式性质$2$，等式两边同时乘$-3$，等式依然成立，该变形正确。
D 选项：当$c = 0$时，不管$a$、$b$是否相等，$ac = bc$都成立，所以只有在$c≠0$时，由$ac = bc$才能得到$a = b$，该变形错误。
2.A 选项：若$x = y$，根据等式性质$1$，等式两边同时加$5$，应得到$x + 5 = y + 5$，而不是$x + 5 = y - 5$，所以该选项错误。
B 选项：若$a - x = b + x$，根据等式性质$1$，等式两边同时加$x$，应得到$a = b + 2x$，而不是$a = b$，所以该选项错误。
C 选项：当$a = 0$时，$ax = ay$，但不一定能得出$x = y$，所以该选项错误。
D 选项：若$\frac{x}{2} = \frac{y}{2}$，根据等式性质$2$，等式两边同时乘$2$，得到$x = y$，该选项正确。
3.A 选项：因为$ax = ay$，根据等式性质$1$，等式两边同时加$b$，得到$b + ax = b + ay$，该等式成立。
B 选项：当$a = 0$时，$ax = ay$成立，但此时$x$不一定等于$y$，所以该等式不一定成立。
C 选项：因为$ax = ay$，根据等式性质$1$，等式两边同时用$x$减以及$1× x$和$ay - 1× y (或表示为x - ax = x - ay$（等式两边同时减$ax$和$ay$，因为$ax = ay$，所以$x - ax = x - ay$），该等式成立。
D 选项：因为$a^{2}+1＞0$，若$\frac{x}{2} = \frac{y}{2}$根据等式性质$2$，等式两边同时除以$a^{2}+1$，得到$\frac{ax}{a^{2}+1}=\frac{ay}{a^{2}+1}$，该等式成立。
4.(1)根据等式性质$1$，等式两边同时减$5$，若$2x + 5 = 8$，则$2x = 8 - 5$。
(2)根据等式性质$1$，等式两边同时加$2x$，若$5x = -2x + 7$，则$5x + 2x = 7$。
(3)根据等式性质$1$，等式两边同时加$( - 2x+1 )$的相反数，若$5x - 1 = 2x + 8$，则$5x - 2x= 8 +1$，
5.根据等式性质$1$，等式两边同时加$( - 2x)$，由$3x = 2x + 1$变为$3x - 2x = 1$，是方程两边同时加上$-2x$。
6.对$x - 3y = 2$两边同时乘以$- 1$，可得$-(x - 3y)=-2$，即$-x + 3y = - 2$，再在等式两边同时加$5$，得到$-x + 3y + 5 = 3$。
7.根据$\frac{3}{4}m - 1 = \frac{3}{4}n$，等式两边同时加$1$，得到$\frac{3}{4}m= \frac{3}{4}n + 1$，等式两边再同时乘$\frac{4}{3}$，得到$m = n+\frac{4}{3}$，所以$m＞ n$。

素养提升
8.（推理能力）某同学在对一等式变形时得到了 $1 = -1$ 的错误结果，可他又找不出原因，聪明的同学，你能帮他“诊断”吗？他的变形过程如下：
$4x = -6y$，
等式两边都减去 $2x - 3y$，①
得 $4x - (2x - 3y) = -6y - (2x - 3y)$，②
所以 $2x + 3y = -3y - 2x$，③
两边都除以 $(2x + 3y)$，④
得 $\frac{2x + 3y}{2x + 3y} = \frac{-(2x + 3y)}{2x + 3y}$，
整理得 $1 = -1$.
有误的一步是.（填序号）
理由：

.

④；等式两边同时除以的(2x + 3y)的值为0；0不能作为除数；违反了等式的性质2。

由4x=-6y可得2x=-3y，即2x+3y=0。步骤④中两边都除以(2x+3y)，而2x+3y=0，0不能作为除数，违反等式性质2。