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8. 已知方程组 $\begin{cases}2x + y = 4, \\ x + 2y = 5。\end{cases}$
（1）$x$ 分别取 $-1$，$0$，$1$，$2$，填写下表。
（2）写出方程组的解。
（1）$x$ 分别取 $-1$，$0$，$1$，$2$，填写下表。
（2）写出方程组的解。
答案
8. 解：（1）6 4 2 0 3 $ \dfrac{5}{2} $ 2 $ \dfrac{3}{2} $
（2）根据表格得方程组的解为 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases} $。
（2）根据表格得方程组的解为 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases} $。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 对于第（1）问，我们需要将给定的x值分别代入两个二元一次方程，通过移项、计算求出对应的y值。每个方程都是关于x和y的一次方程，已知x的值，将其代入方程后，方程就转化为关于y的一元一次方程，解这个一元一次方程即可得到y的值。
2. 对于第（2）问，根据二元一次方程组解的定义，方程组的解是同时满足两个方程的x、y的值，所以我们只需在第（1）问的表格中找到两组数据中x和y都相同的那一组，即为方程组的解。
【解析】
（1）将x的值代入方程$2x+y=4$，求解y：
当$x=-1$时，$2×(-1)+y=4$，解得$y=4+2=6$；
当$x=0$时，$2×0+y=4$，解得$y=4$；
当$x=1$时，$2×1+y=4$，解得$y=4-2=2$；
当$x=2$时，$2×2+y=4$，解得$y=4-4=0$。
将x的值代入方程$x+2y=5$，求解y：
当$x=-1$时，$-1+2y=5$，解得$2y=6$，$y=3$；
当$x=0$时，$0+2y=5$，解得$y=\dfrac{5}{2}$；
当$x=1$时，$1+2y=5$，解得$2y=4$，$y=2$；
当$x=2$时，$2+2y=5$，解得$2y=3$，$y=\dfrac{3}{2}$。
（2）观察表格中的数据，当$x=1$时，两个方程对应的y值都是2，同时满足两个方程，因此方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$。
【答案】
（1）$6$、$4$、$2$、$0$；$3$、$\dfrac{5}{2}$、$2$、$\dfrac{3}{2}$
（2）$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程代入求值
2. 二元一次方程组的解的定义
【点评】
本题通过代入求值的方式，直观考查了二元一次方程的计算以及二元一次方程组解的确定，难度较低，重点在于计算的准确性，同时帮助理解方程组的解是同时满足两个方程的公共解。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 对于第（1）问，我们需要将给定的x值分别代入两个二元一次方程，通过移项、计算求出对应的y值。每个方程都是关于x和y的一次方程，已知x的值，将其代入方程后，方程就转化为关于y的一元一次方程，解这个一元一次方程即可得到y的值。
2. 对于第（2）问，根据二元一次方程组解的定义，方程组的解是同时满足两个方程的x、y的值，所以我们只需在第（1）问的表格中找到两组数据中x和y都相同的那一组，即为方程组的解。
【解析】
（1）将x的值代入方程$2x+y=4$，求解y：
当$x=-1$时，$2×(-1)+y=4$，解得$y=4+2=6$；
当$x=0$时，$2×0+y=4$，解得$y=4$；
当$x=1$时，$2×1+y=4$，解得$y=4-2=2$；
当$x=2$时，$2×2+y=4$，解得$y=4-4=0$。
将x的值代入方程$x+2y=5$，求解y：
当$x=-1$时，$-1+2y=5$，解得$2y=6$，$y=3$；
当$x=0$时，$0+2y=5$，解得$y=\dfrac{5}{2}$；
当$x=1$时，$1+2y=5$，解得$2y=4$，$y=2$；
当$x=2$时，$2+2y=5$，解得$2y=3$，$y=\dfrac{3}{2}$。
（2）观察表格中的数据，当$x=1$时，两个方程对应的y值都是2，同时满足两个方程，因此方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$。
【答案】
（1）$6$、$4$、$2$、$0$；$3$、$\dfrac{5}{2}$、$2$、$\dfrac{3}{2}$
（2）$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程代入求值
2. 二元一次方程组的解的定义
【点评】
本题通过代入求值的方式，直观考查了二元一次方程的计算以及二元一次方程组解的确定，难度较低，重点在于计算的准确性，同时帮助理解方程组的解是同时满足两个方程的公共解。
【难度系数】
0.9
9. 现有 $A$，$B$，$C$，$D$ 四张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程。若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为 $\begin{cases}x = -7, \\ y = -8,\end{cases}$ 则所取的两张卡片是( )
A.$A$ 和 $B$
B.$B$ 和 $C$
C.$C$ 和 $D$
D.$A$ 和 $D$
A.$A$ 和 $B$
B.$B$ 和 $C$
C.$C$ 和 $D$
D.$A$ 和 $D$
答案
9. C
解析
【分析】
要确定哪两张卡片的方程联立后解为$\begin{cases}x = -7, \\ y = -8,\end{cases}$，我们可以利用二元一次方程的解的定义，将该解分别代入四张卡片的方程中，验证方程左右两边是否相等，找到两个都能使方程成立的卡片即可。
【解析】
将$\begin{cases}x = -7, \\ y = -8,\end{cases}$分别代入四张卡片的方程：
1. 代入A的方程$x-y=9$：
左边$=-7 - (-8)=1$，右边$=9$，左边≠右边，该解不满足A的方程；
2. 代入B的方程$2x-3y=-9$：
左边$=2×(-7)-3×(-8)=-14+24=10$，右边$=-9$，左边≠右边，该解不满足B的方程；
3. 代入C的方程$x-y=1$：
左边$=-7 - (-8)=1$，右边$=1$，左边=右边，该解满足C的方程；
4. 代入D的方程$3x-2y=-5$：
左边$=3×(-7)-2×(-8)=-21+16=-5$，右边$=-5$，左边=右边，该解满足D的方程；
因此，所取的两张卡片是C和D，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解的定义
【点评】
本题考查二元一次方程（组）的解的验证，核心是理解“使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解”，通过代入验证即可求解，题目难度较低，注重基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
要确定哪两张卡片的方程联立后解为$\begin{cases}x = -7, \\ y = -8,\end{cases}$，我们可以利用二元一次方程的解的定义，将该解分别代入四张卡片的方程中，验证方程左右两边是否相等，找到两个都能使方程成立的卡片即可。
【解析】
将$\begin{cases}x = -7, \\ y = -8,\end{cases}$分别代入四张卡片的方程：
1. 代入A的方程$x-y=9$：
左边$=-7 - (-8)=1$，右边$=9$，左边≠右边，该解不满足A的方程；
2. 代入B的方程$2x-3y=-9$：
左边$=2×(-7)-3×(-8)=-14+24=10$，右边$=-9$，左边≠右边，该解不满足B的方程；
3. 代入C的方程$x-y=1$：
左边$=-7 - (-8)=1$，右边$=1$，左边=右边，该解满足C的方程；
4. 代入D的方程$3x-2y=-5$：
左边$=3×(-7)-2×(-8)=-21+16=-5$，右边$=-5$，左边=右边，该解满足D的方程；
因此，所取的两张卡片是C和D，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解的定义
【点评】
本题考查二元一次方程（组）的解的验证，核心是理解“使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解”，通过代入验证即可求解，题目难度较低，注重基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
10. 已知 $\begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases}$ 是方程组 $\begin{cases}ax - by = 2, \\ ax + by = -3\end{cases}$ 的解，则 $(2a + b)(2a - b) =$ ______ 。
答案
10. -6
解析
【分析】
首先，根据方程组的解的定义，将已知的解$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax - by = 2, \\ ax + by = -3\end{cases}$，可得到关于a、b的两个方程。接着观察所求式子$(2a + b)(2a - b)$，发现它符合平方差公式的形式，可转化为$4a^2 - b^2$，而代入后得到的两个方程左边相乘正好就是$4a^2 - b^2$，因此直接将两个方程的右边相乘即可得到结果，无需单独求解a、b的值，这样能简化计算步骤。
【解析】
将$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax - by = 2, \\ ax + by = -3\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b = 2 \\ 2a + b = -3\end{cases}$
根据平方差公式：$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，则$(2a + b)(2a - b)=(2a)^2 - b^2$，而$(2a - b)(2a + b)$正好是上面两个方程左边的乘积，因此等于右边的乘积：
$(2a + b)(2a - b)=2×(-3)=-6$
【答案】
-6
【知识点】
1. 方程组的解的定义
2. 平方差公式
【点评】
本题考查方程组的解的应用与平方差公式的灵活运用，解题关键在于观察所求式子与代入后方程的联系，通过整体代入的思想简化计算，避免繁琐的求解a、b过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
首先，根据方程组的解的定义，将已知的解$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax - by = 2, \\ ax + by = -3\end{cases}$，可得到关于a、b的两个方程。接着观察所求式子$(2a + b)(2a - b)$，发现它符合平方差公式的形式，可转化为$4a^2 - b^2$，而代入后得到的两个方程左边相乘正好就是$4a^2 - b^2$，因此直接将两个方程的右边相乘即可得到结果，无需单独求解a、b的值，这样能简化计算步骤。
【解析】
将$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax - by = 2, \\ ax + by = -3\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b = 2 \\ 2a + b = -3\end{cases}$
根据平方差公式：$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，则$(2a + b)(2a - b)=(2a)^2 - b^2$，而$(2a - b)(2a + b)$正好是上面两个方程左边的乘积，因此等于右边的乘积：
$(2a + b)(2a - b)=2×(-3)=-6$
【答案】
-6
【知识点】
1. 方程组的解的定义
2. 平方差公式
【点评】
本题考查方程组的解的应用与平方差公式的灵活运用，解题关键在于观察所求式子与代入后方程的联系，通过整体代入的思想简化计算，避免繁琐的求解a、b过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
11. 为了观看某次足球比赛，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共 $10$ 张，总价为 $5800$ 元，其中小组赛球票每张 $550$ 元，淘汰赛球票每张 $700$ 元。设小李预订的小组赛的球票有 $x$ 张，淘汰赛的球票有 $y$ 张。
（1）你能列出相应的方程组吗？
（2）$\begin{cases}x = 8, \\ y = 2\end{cases}$ 是方程组的解吗？小李预订的小组赛和淘汰赛的球票分别为多少张？
（1）你能列出相应的方程组吗？
（2）$\begin{cases}x = 8, \\ y = 2\end{cases}$ 是方程组的解吗？小李预订的小组赛和淘汰赛的球票分别为多少张？
答案
11. 解：（1）由题意可得 $ \begin{cases} x + y = 10, \\ 550x + 700y = 5800 \end{cases} $。
（2）$ \begin{cases} x = 8, \\ y = 2 \end{cases} $ 是方程组的解。小李预订的小组赛的球票为 8 张，淘汰赛的球票为 2 张。
（2）$ \begin{cases} x = 8, \\ y = 2 \end{cases} $ 是方程组的解。小李预订的小组赛的球票为 8 张，淘汰赛的球票为 2 张。
解析
【分析】
对于（1），我们需要从题目中提取两个关键等量关系：一是小组赛与淘汰赛球票的总张数为10张，二是两种球票的总价为5800元，根据这两个等量关系即可列出对应的二元一次方程组。
对于（2），要判断一组数是否为方程组的解，只需将这组数代入方程组的两个方程，分别验证左右两边是否相等。若两个方程都成立，则该组数是方程组的解，同时这个解就对应小李预订的两种球票的张数。
【解析】
（1）根据“小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张”，可列方程：$x + y = 10$；
根据“小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，总价为5800元”，可列方程：$550x + 700y = 5800$；
因此，相应的方程组为$\begin{cases} x + y = 10, \\ 550x + 700y = 5800 \end{cases}$。
（2）将$\begin{cases}x = 8, \\ y = 2\end{cases}$代入方程组：
代入第一个方程$x + y = 10$，左边$=8+2=10$，右边$=10$，左边=右边；
代入第二个方程$550x + 700y = 5800$，左边$=550×8 + 700×2=4400+1400=5800$，右边$=5800$，左边=右边；
所以$\begin{cases}x = 8, \\ y = 2\end{cases}$是方程组的解，即小李预订的小组赛球票为8张，淘汰赛球票为2张。
【答案】
（1）$\begin{cases} x + y = 10, \\ 550x + 700y = 5800 \end{cases}$；
（2）$\begin{cases}x = 8, \\ y = 2\end{cases}$是方程组的解，小李预订的小组赛球票为8张，淘汰赛球票为2张。
【知识点】
二元一次方程组的应用、二元一次方程组的解的验证
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础实际应用题，核心是找准题目中的等量关系来构建方程组，同时掌握验证方程组解的基本方法，题型贴近生活，易于理解。
【难度系数】
0.8
对于（1），我们需要从题目中提取两个关键等量关系：一是小组赛与淘汰赛球票的总张数为10张，二是两种球票的总价为5800元，根据这两个等量关系即可列出对应的二元一次方程组。
对于（2），要判断一组数是否为方程组的解，只需将这组数代入方程组的两个方程，分别验证左右两边是否相等。若两个方程都成立，则该组数是方程组的解，同时这个解就对应小李预订的两种球票的张数。
【解析】
（1）根据“小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张”，可列方程：$x + y = 10$；
根据“小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，总价为5800元”，可列方程：$550x + 700y = 5800$；
因此，相应的方程组为$\begin{cases} x + y = 10, \\ 550x + 700y = 5800 \end{cases}$。
（2）将$\begin{cases}x = 8, \\ y = 2\end{cases}$代入方程组：
代入第一个方程$x + y = 10$，左边$=8+2=10$，右边$=10$，左边=右边；
代入第二个方程$550x + 700y = 5800$，左边$=550×8 + 700×2=4400+1400=5800$，右边$=5800$，左边=右边；
所以$\begin{cases}x = 8, \\ y = 2\end{cases}$是方程组的解，即小李预订的小组赛球票为8张，淘汰赛球票为2张。
【答案】
（1）$\begin{cases} x + y = 10, \\ 550x + 700y = 5800 \end{cases}$；
（2）$\begin{cases}x = 8, \\ y = 2\end{cases}$是方程组的解，小李预订的小组赛球票为8张，淘汰赛球票为2张。
【知识点】
二元一次方程组的应用、二元一次方程组的解的验证
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础实际应用题，核心是找准题目中的等量关系来构建方程组，同时掌握验证方程组解的基本方法，题型贴近生活，易于理解。
【难度系数】
0.8
12. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}x + y = -6 - t, \\ y - x = 3t + 10,\end{cases}$ 给出下列结论：
①当 $t = -1$ 时，方程组的解是 $\begin{cases}x = -6, \\ y = 1;\end{cases}$
②当 $x = y$ 时，$t = -\dfrac{10}{3}$。
请判断以上结论是否正确，并说明理由。
①当 $t = -1$ 时，方程组的解是 $\begin{cases}x = -6, \\ y = 1;\end{cases}$
②当 $x = y$ 时，$t = -\dfrac{10}{3}$。
请判断以上结论是否正确，并说明理由。
答案
12. 解：把 $ t = -1 $ 代入原方程组，得 $ \begin{cases} x + y = -5, \\ x - y = -7 \end{cases} $，
把 $ \begin{cases} x = -6, \\ y = 1 \end{cases} $ 代入方程组依然成立，故结论①正确；
②当 $ x = y $ 时，得到 $ \begin{cases} 2x = -6 - t, \\ 3t + 10 = 0 \end{cases} $，解得 $ t = -\dfrac{10}{3} $，
故结论②正确。
综上，结论①②均正确。
把 $ \begin{cases} x = -6, \\ y = 1 \end{cases} $ 代入方程组依然成立，故结论①正确；
②当 $ x = y $ 时，得到 $ \begin{cases} 2x = -6 - t, \\ 3t + 10 = 0 \end{cases} $，解得 $ t = -\dfrac{10}{3} $，
故结论②正确。
综上，结论①②均正确。
解析
【分析】
要判断两个结论的正确性，需分别针对每个结论采用对应的方法验证：
1. 对于结论①，可将$t=-1$代入原方程组得到新的方程组，再把给出的解代入新方程组，验证是否满足方程；
2. 对于结论②，当$x=y$时，代入方程组的第二个方程，可直接得到关于$t$的方程，求解后再结合第一个方程验证即可。
【解析】
1. 判断结论①：
把$t=-1$代入原方程组，得：
$\begin{cases}x + y = -6 - (-1) = -5, \\ y - x = 3×(-1) + 10 = 7\end{cases}$，整理为$\begin{cases}x + y = -5, \\ x - y = -7\end{cases}$
将$\begin{cases}x = -6, \\ y = 1\end{cases}$代入该方程组：
左边$x+y=-6+1=-5$，与右边相等；左边$x-y=-6-1=-7$，与右边相等，因此该解满足方程组，结论①正确。
2. 判断结论②：
当$x=y$时，代入原方程组可得：
$\begin{cases}2x = -6 - t, \\ 3t + 10 = 0\end{cases}$
由$3t + 10 = 0$，解得$t = -\dfrac{10}{3}$，
将$t = -\dfrac{10}{3}$代入$2x = -6 - t$，得$2x=-6 - (-\dfrac{10}{3})=-\dfrac{8}{3}$，$x=-\dfrac{4}{3}$，此时$x=y=-\dfrac{4}{3}$，满足原方程组，结论②正确。
综上，结论①②均正确。
【答案】
结论①②均正确，理由见上述解析。
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的定义及代入法的应用，通过代入特定值或条件验证解的正确性、求解参数，侧重对基础概念和基本解法的考察，能帮助学生巩固二元一次方程组的相关知识。
【难度系数】
0.8
要判断两个结论的正确性，需分别针对每个结论采用对应的方法验证：
1. 对于结论①，可将$t=-1$代入原方程组得到新的方程组，再把给出的解代入新方程组，验证是否满足方程；
2. 对于结论②，当$x=y$时，代入方程组的第二个方程，可直接得到关于$t$的方程，求解后再结合第一个方程验证即可。
【解析】
1. 判断结论①：
把$t=-1$代入原方程组，得：
$\begin{cases}x + y = -6 - (-1) = -5, \\ y - x = 3×(-1) + 10 = 7\end{cases}$，整理为$\begin{cases}x + y = -5, \\ x - y = -7\end{cases}$
将$\begin{cases}x = -6, \\ y = 1\end{cases}$代入该方程组：
左边$x+y=-6+1=-5$，与右边相等；左边$x-y=-6-1=-7$，与右边相等，因此该解满足方程组，结论①正确。
2. 判断结论②：
当$x=y$时，代入原方程组可得：
$\begin{cases}2x = -6 - t, \\ 3t + 10 = 0\end{cases}$
由$3t + 10 = 0$，解得$t = -\dfrac{10}{3}$，
将$t = -\dfrac{10}{3}$代入$2x = -6 - t$，得$2x=-6 - (-\dfrac{10}{3})=-\dfrac{8}{3}$，$x=-\dfrac{4}{3}$，此时$x=y=-\dfrac{4}{3}$，满足原方程组，结论②正确。
综上，结论①②均正确。
【答案】
结论①②均正确，理由见上述解析。
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的定义及代入法的应用，通过代入特定值或条件验证解的正确性、求解参数，侧重对基础概念和基本解法的考察，能帮助学生巩固二元一次方程组的相关知识。
【难度系数】
0.8
