5. 如图10，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是点B，D，F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是.

$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$

因为AB、CD、EF均垂直于BD，所以AB//EF//CD。
设EF的长为$ x $，
由$ AB // EF $，得$ △ DEF ∼ △ DAB $，故$ \frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD} $，即$ \frac{x}{1}=\frac{DF}{BD} $；
由$ EF // CD $，得$ △ BEF ∼ △ BCD $，故$ \frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD} $，即$ \frac{x}{3}=\frac{BF}{BD} $；
因为$ DF+BF=BD $，将两式相加得：$ \frac{x}{1}+\frac{x}{3}=\frac{DF+BF}{BD}=1 $，
解得$ x=\frac{3}{4} $。

6. 在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BD=3，AD=9，则CD=，$AB^2:AC^2$=.

27；1:9

1. 求CD：
在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，故∠ADB=∠ADC=90°。
因为∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，所以∠BAD=∠C，可得△ABD∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例得$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，即$AD^2=BD· CD$。
代入BD=3，AD=9，得$9^2=3· CD$，解得$CD=27$。
2. 求$AB^2:AC^2$：
由△ABD∽△CAD，得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
根据相似三角形的性质，对应边的平方比等于相似比的平方，故$AB^2:AC^2=(\frac{1}{3})^2=1:9$。

三、解答题
1. 如图11，在△ABC中，AD=DB，∠1=∠2，求证：△ABC∽△EAD.

证明：
∵ AD = DB，
∴ ∠B = ∠BAD，即∠B = ∠EAD。
∵ ∠ADB = ∠1 + ∠C，
又∵ ∠ADB = ∠2 + ∠ADE，且∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠C = ∠2 + ∠ADE，
∴ ∠C = ∠ADE。
在△ABC和△EAD中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠EAD \\∠C = ∠ADE\end{array} $
∴ △ABC∽△EAD。

2. 如图12，已知：AB//CD，AD，BC相交于点E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C，求证：$AF^2=FE· FB$.

证明：
∵AB//CD，
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠EAF=∠C，
∴∠EAF=∠B。
在△AFE和△BFA中，
$\{\begin{array}{l}∠EAF=∠B\\∠AFE=∠BFA\end{array} $，
∴△AFE∽△BFA（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{AF}{FB}=\frac{FE}{AF}$，
∴$AF^2=FE· FB$。