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3. 如图3，添加下列四个备选项中的一个条件，仍
A.∠B=∠ACD
B.∠ADC=∠ACB
C.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$
D.$AC^2=AD· AB$
不
能
判定△ABC与△ACD相似的是()A.∠B=∠ACD
B.∠ADC=∠ACB
C.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$
D.$AC^2=AD· AB$
答案
C
解析
△ABC与△ACD有公共角∠A。
选项A：∠B=∠ACD，结合∠A=∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定△ABC∽△ACD；
选项B：∠ADC=∠ACB，结合∠A=∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定△ABC∽△ACD；
选项C：$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，该比例对应的夹角不是公共角∠A，不满足相似三角形判定条件，无法判定相似；
选项D：由$AC^2=AD· AB$得$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，结合∠A=∠A，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△ABC∽△ACD。
综上，不能判定相似的是选项C。
选项A：∠B=∠ACD，结合∠A=∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定△ABC∽△ACD；
选项B：∠ADC=∠ACB，结合∠A=∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定△ABC∽△ACD；
选项C：$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，该比例对应的夹角不是公共角∠A，不满足相似三角形判定条件，无法判定相似；
选项D：由$AC^2=AD· AB$得$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，结合∠A=∠A，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△ABC∽△ACD。
综上，不能判定相似的是选项C。
4. 已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是60°，80°，则这两个三角形()
A.一定不相似
B.不一定相似
C.一定相似
D.全等
A.一定不相似
B.不一定相似
C.一定相似
D.全等
答案
C
解析
根据三角形内角和为180°，计算得第一个三角形的第三个内角为180°-40°-60°=80°，第二个三角形的第三个内角为180°-60°-80°=40°。两个三角形的三个内角分别对应相等，依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，可知这两个三角形一定相似。
5. 如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形共有()
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
C
解析
1. 已知∠ACB=90°，CD⊥AB，可得∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°。
2. 在△ACD和△ABC中，∠A为公共角，∠ADC=∠ACB，根据AA判定，△ACD∽△ABC。
3. 在△BCD和△BAC中，∠B为公共角，∠CDB=∠ACB，根据AA判定，△BCD∽△BAC。
4. 由∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，推出∠ACD=∠B，结合∠ADC=∠CDB，根据AA判定，△ACD∽△CBD。
综上，图中相似的三角形共有3对。
2. 在△ACD和△ABC中，∠A为公共角，∠ADC=∠ACB，根据AA判定，△ACD∽△ABC。
3. 在△BCD和△BAC中，∠B为公共角，∠CDB=∠ACB，根据AA判定，△BCD∽△BAC。
4. 由∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，推出∠ACD=∠B，结合∠ADC=∠CDB，根据AA判定，△ACD∽△CBD。
综上，图中相似的三角形共有3对。
6. 如图5，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍
A.$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
B.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
C.∠B=∠ADE
D.∠C=∠E
无
法
判定△ABC∽△ADE的是()A.$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
B.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
C.∠B=∠ADE
D.∠C=∠E
答案
A
解析
已知∠1=∠2，可得∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
选项A：$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，是两边对应成比例，但非夹角的两边，不符合相似三角形判定定理，无法判定△ABC∽△ADE；
选项B：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，结合∠BAC=∠DAE，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE；
选项C：∠B=∠ADE，结合∠BAC=∠DAE，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE；
选项D：∠C=∠E，结合∠BAC=∠DAE，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE。
综上，无法判定的是选项A。
选项A：$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，是两边对应成比例，但非夹角的两边，不符合相似三角形判定定理，无法判定△ABC∽△ADE；
选项B：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，结合∠BAC=∠DAE，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE；
选项C：∠B=∠ADE，结合∠BAC=∠DAE，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE；
选项D：∠C=∠E，结合∠BAC=∠DAE，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE。
综上，无法判定的是选项A。
二、填空题
1. 如图6，在△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行. 只要添加条件：，就能判定△ADE∽△ABC. (不再添加其他字母和线段，只填一个条件).
1. 如图6，在△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行. 只要添加条件：，就能判定△ADE∽△ABC. (不再添加其他字母和线段，只填一个条件).
答案
解：添加条件：$\boldsymbol{∠1=∠B}$（答案不唯一）。
理由如下：
在$△ ADE$和$△ ABC$中，
$\because ∠A=∠A$（公共角），
$∠1=∠B$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
理由如下：
在$△ ADE$和$△ ABC$中，
$\because ∠A=∠A$（公共角），
$∠1=∠B$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 如图7，∠BAD=∠CAE，AB=2AD，∠B=∠D，BC=3 cm，则DE=cm.
答案
1.5（或$\frac{3}{2}$）
解析
1. 由∠BAD=∠CAE，可得∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE；
2. 结合∠B=∠D，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，判定△ABC∽△ADE；
3. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$；
4. 已知AB=2AD，BC=3cm，代入比例式得$\frac{2AD}{AD}=\frac{3}{DE}$，解得$DE=1.5$cm。
2. 结合∠B=∠D，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，判定△ABC∽△ADE；
3. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$；
4. 已知AB=2AD，BC=3cm，代入比例式得$\frac{2AD}{AD}=\frac{3}{DE}$，解得$DE=1.5$cm。
3. 如图8，D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm，AB=4 cm，则AC=cm.
答案
$2\sqrt{3}$
解析
在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，∠ACD=∠ABC，∴△ACD∽△ABC。根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=AD· AB$。将AD=3cm，AB=4cm代入，得$AC^2=3×4=12$，解得$AC=2\sqrt{3}$cm。
4. 如图9，在△ABC中，已知∠A=90°，∠C=30°，N是AB的中点，MN⊥BC于点M，则可判断△BMN∽△，相似比为.
答案
ABC；$\frac{1}{4}$
解析
1. 判定相似：在△ABC中，∠A=90°，MN⊥BC得∠BMN=90°=∠A，且∠B为公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BMN∽△ABC。
2. 计算相似比：设AB=2a，∵N是AB中点，∴BN=a。在Rt△ABC中，∠C=30°，则BC=2AB=4a。在Rt△BMN中，∠B=60°，得BM=BN·cos60°=$\frac{a}{2}$。相似比为$\frac{BM}{BA}$=$\frac{\frac{a}{2}}{2a}$=$\frac{1}{4}$。
2. 计算相似比：设AB=2a，∵N是AB中点，∴BN=a。在Rt△ABC中，∠C=30°，则BC=2AB=4a。在Rt△BMN中，∠B=60°，得BM=BN·cos60°=$\frac{a}{2}$。相似比为$\frac{BM}{BA}$=$\frac{\frac{a}{2}}{2a}$=$\frac{1}{4}$。
