6. 如图11，$ AB⊥BC $，$ DC⊥BC $，垂足分别为B，C，且$ AB = 8 $，$ DC = 6 $，$ BC = 14 $，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个点？并求出此时BP的长. 若没有，请说明理由.

解：存在，有2个点。
设$ BP = x $，则$ PC = 14 - x $，
$\because AB⊥ BC$，$DC⊥ BC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C = 90°$。
①当$△ ABP ∽ △ DCP$时，
$\frac{AB}{DC} = \frac{BP}{PC}$，
即$\frac{8}{6} = \frac{x}{14 - x}$，
解得$x = 8$，即$ BP = 8 $。
②当$△ ABP ∽ △ PCD$时，
$\frac{AB}{PC} = \frac{BP}{DC}$，
即$\frac{8}{14 - x} = \frac{x}{6}$，
整理得$x^2 - 14x + 48 = 0$，
解得$x_1 = 6$，$x_2 = 8$。
当$x = 6$时，$ BP = 6 $；当$x = 8$时，与①中结果重合。
综上，存在2个点$ P $，此时$ BP $的长为6或8。

一、选择题
1. 如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，DE//BC交AC于E，则图中与△ABC相似的三角形有()
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个

解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°。
∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD（AA）。
∵∠B=∠B，∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ABC∽△CBD（AA）。
∵DE//BC，
∴∠AED=∠ACB=90°。
∵∠A=∠A，∠ACB=∠AED=90°，
∴△ABC∽△ADE（AA）。
∵DE//BC，
∴∠CDE=∠BCD。
∵∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴∠CDE=∠A。
又∠DEC=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△CDE（AA）。
综上，与△ABC相似的三角形有4个，故选A。

2. 如图2，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为()

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$

B

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=3。
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，
又∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD（两角对应相等，两三角形相似）。
∵BP=1，∴PC=BC-BP=3-1=2，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{3}{2}=\frac{1}{CD}$，
解得$CD=\frac{2}{3}$。