登录
5. 一个机器零件画在比例尺是$20:1$的图纸上，长是10cm，这个机器零件的实际长度是多少厘米？
答案
10÷20=0.5(厘米)
答：这个机器零件的实际长度是0.5厘米。
答：这个机器零件的实际长度是0.5厘米。
解析
【分析】
首先明确比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离，题目中的比例尺20:1是放大比例尺，意味着图上20厘米对应实际1厘米，即图上距离是实际距离的20倍。要求实际长度，根据公式变形可得实际距离=图上距离÷比例尺，因此只需用图上长度除以比例尺的比值即可求出零件实际长度。
【解析】
根据比例尺的计算公式：$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，变形可得：
$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}÷\mathrm{比例尺}$
已知图上距离为10cm，比例尺为$20:1$（即比值为20），代入数据计算：
$10÷20=0.5$（厘米）
答：这个机器零件的实际长度是0.5厘米。
【答案】
0.5厘米
【知识点】
比例尺的应用
【点评】
本题考查放大比例尺的实际应用，解题关键是准确理解放大比例尺的含义，区分放大与缩小比例尺的计算逻辑，避免出现图上距离乘比例尺的错误。
【难度系数】
0.8
首先明确比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离，题目中的比例尺20:1是放大比例尺，意味着图上20厘米对应实际1厘米，即图上距离是实际距离的20倍。要求实际长度，根据公式变形可得实际距离=图上距离÷比例尺，因此只需用图上长度除以比例尺的比值即可求出零件实际长度。
【解析】
根据比例尺的计算公式：$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，变形可得：
$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}÷\mathrm{比例尺}$
已知图上距离为10cm，比例尺为$20:1$（即比值为20），代入数据计算：
$10÷20=0.5$（厘米）
答：这个机器零件的实际长度是0.5厘米。
【答案】
0.5厘米
【知识点】
比例尺的应用
【点评】
本题考查放大比例尺的实际应用，解题关键是准确理解放大比例尺的含义，区分放大与缩小比例尺的计算逻辑，避免出现图上距离乘比例尺的错误。
【难度系数】
0.8
6. 铺一间房子的地面，用边长为0.3m的方砖铺，需要640块；若改用边长为0.4m的方砖铺，需要多少块？
答案
解：设需要x块。
0.4×0.4×x = 0.3×0.3×640
0.16x = 57.6
x = 57.6÷0.16
x = 360
答：需要360块。
0.4×0.4×x = 0.3×0.3×640
0.16x = 57.6
x = 57.6÷0.16
x = 360
答：需要360块。
解析
【分析】
首先要明确房子地面的总面积是固定不变的，每块方砖的面积与所需方砖的块数成反比例关系（因为总面积=每块砖面积×块数，总面积一定时，两者乘积不变）。解题思路为：先设改用边长0.4m的方砖需要$ x $块，再根据两种方砖铺地的总面积相等建立方程，最后通过解方程求出$ x $的值。
【解析】
解：设需要$ x $块。
根据地面总面积不变，列方程如下：
$ 0.4×0.4×x = 0.3×0.3×640 $
计算等式两边的方砖面积：
$ 0.16x = 57.6 $
求解$ x $：
$ x = 57.6÷0.16 $
$ x = 360 $
答：需要360块。
【答案】
360块
【知识点】
1. 反比例的应用
2. 正方形面积计算
【点评】
本题的关键是抓住“地面总面积不变”这一核心条件，利用反比例关系列方程求解。需注意不能直接用方砖边长与块数建立等式，必须先计算方砖的面积，避免概念混淆导致错误。
【难度系数】
0.75
首先要明确房子地面的总面积是固定不变的，每块方砖的面积与所需方砖的块数成反比例关系（因为总面积=每块砖面积×块数，总面积一定时，两者乘积不变）。解题思路为：先设改用边长0.4m的方砖需要$ x $块，再根据两种方砖铺地的总面积相等建立方程，最后通过解方程求出$ x $的值。
【解析】
解：设需要$ x $块。
根据地面总面积不变，列方程如下：
$ 0.4×0.4×x = 0.3×0.3×640 $
计算等式两边的方砖面积：
$ 0.16x = 57.6 $
求解$ x $：
$ x = 57.6÷0.16 $
$ x = 360 $
答：需要360块。
【答案】
360块
【知识点】
1. 反比例的应用
2. 正方形面积计算
【点评】
本题的关键是抓住“地面总面积不变”这一核心条件，利用反比例关系列方程求解。需注意不能直接用方砖边长与块数建立等式，必须先计算方砖的面积，避免概念混淆导致错误。
【难度系数】
0.75
一、某家具城所有商品打八折出售，王叔叔花4580元买了一套沙发，花520元买了一个茶几，买这两样家具比按原价买一共便宜多少元？
答案
4580 + 520 = 5100（元）
5100 ÷ 80% = 6375（元）
6375 - 5100 = 1275（元）
答：买这两样家具比按原价买一共便宜1275元。
5100 ÷ 80% = 6375（元）
6375 - 5100 = 1275（元）
答：买这两样家具比按原价买一共便宜1275元。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们的核心思路是先明确“便宜的金额=原价总和-现价总和”。首先需要计算出购买两样家具实际花费的总金额（即现价总和）；由于商品打八折出售，说明现价是原价的80%，因此用现价总和除以80%就能得到原价总和；最后用原价总和减去现价总和，即可求出比原价便宜的金额。
【解析】
1. 计算购买两样家具的现价总和：
$4580 + 520 = 5100$（元）
2. 根据折扣计算原价总和：
已知打八折即现价是原价的80%，则原价总和为：
$5100 ÷ 80\% = 6375$（元）
3. 计算比原价便宜的金额：
$6375 - 5100 = 1275$（元）
答：买这两样家具比按原价买一共便宜1275元。
【答案】
1275元
【知识点】
折扣问题，百分数应用，整数加减法
【点评】
本题重点考查对折扣含义的理解与运用，关键是掌握“现价=原价×折扣率”的变形公式，通过现价反推原价，再计算差价，需要学生将百分数知识与实际购物场景结合起来解决问题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们的核心思路是先明确“便宜的金额=原价总和-现价总和”。首先需要计算出购买两样家具实际花费的总金额（即现价总和）；由于商品打八折出售，说明现价是原价的80%，因此用现价总和除以80%就能得到原价总和；最后用原价总和减去现价总和，即可求出比原价便宜的金额。
【解析】
1. 计算购买两样家具的现价总和：
$4580 + 520 = 5100$（元）
2. 根据折扣计算原价总和：
已知打八折即现价是原价的80%，则原价总和为：
$5100 ÷ 80\% = 6375$（元）
3. 计算比原价便宜的金额：
$6375 - 5100 = 1275$（元）
答：买这两样家具比按原价买一共便宜1275元。
【答案】
1275元
【知识点】
折扣问题，百分数应用，整数加减法
【点评】
本题重点考查对折扣含义的理解与运用，关键是掌握“现价=原价×折扣率”的变形公式，通过现价反推原价，再计算差价，需要学生将百分数知识与实际购物场景结合起来解决问题。
【难度系数】
0.6
二、在一幅比例尺是$1:400000$的地图上，量得甲、乙两地相距50cm。在另一幅地图上，量得甲、乙两地相距10cm，乙、丙两地相距15cm，乙、丙两地的实际距离是多少千米？
答案
50÷$\frac{1}{400000}$=20000000（厘米）
10:20000000=1:2000000
15÷$\frac{1}{2000000}$=30000000（厘米）
30000000厘米=300千米
答：乙、丙两地的实际距离是300千米。
10:20000000=1:2000000
15÷$\frac{1}{2000000}$=30000000（厘米）
30000000厘米=300千米
答：乙、丙两地的实际距离是300千米。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要分三步逐步推导：
1. 首先，利用第一幅地图的比例尺和甲、乙两地的图上距离，求出甲、乙两地的实际距离（实际距离是固定值），依据公式“实际距离=图上距离÷比例尺”计算。
2. 接着，结合另一幅地图上甲、乙两地的图上距离与已求出的实际距离，算出第二幅地图的比例尺，比例尺的定义是“图上距离:实际距离”。
3. 最后，根据第二幅地图的比例尺和乙、丙两地的图上距离，求出乙、丙两地的实际距离，再将单位换算为千米。
【解析】
1. 计算甲、乙两地的实际距离：
根据“实际距离=图上距离÷比例尺”，第一幅地图比例尺为$1:400000$，图上距离50cm，可得：
$50÷\frac{1}{400000}=20000000$（厘米）
2. 计算第二幅地图的比例尺：
已知第二幅地图上甲、乙两地图上距离10cm，实际距离20000000cm，比例尺为：
$10:20000000=1:2000000$
3. 计算乙、丙两地的实际距离：
根据“实际距离=图上距离÷比例尺”，第二幅地图上乙、丙两地图上距离15cm，比例尺$1:2000000$，可得：
$15÷\frac{1}{2000000}=30000000$（厘米）
4. 单位换算：
因为1千米=100000厘米，所以$30000000$厘米$=30000000÷100000=300$千米
答：乙、丙两地的实际距离是300千米。
【答案】
300千米
【知识点】
比例尺的应用、图上距离与实际距离换算、长度单位换算
【点评】
本题核心考查比例尺的灵活运用，解题关键是抓住甲、乙两地实际距离不变的特点，先推导第二幅地图的比例尺，再计算乙、丙两地实际距离，计算时需注意单位的统一与换算，避免因单位失误出错。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要分三步逐步推导：
1. 首先，利用第一幅地图的比例尺和甲、乙两地的图上距离，求出甲、乙两地的实际距离（实际距离是固定值），依据公式“实际距离=图上距离÷比例尺”计算。
2. 接着，结合另一幅地图上甲、乙两地的图上距离与已求出的实际距离，算出第二幅地图的比例尺，比例尺的定义是“图上距离:实际距离”。
3. 最后，根据第二幅地图的比例尺和乙、丙两地的图上距离，求出乙、丙两地的实际距离，再将单位换算为千米。
【解析】
1. 计算甲、乙两地的实际距离：
根据“实际距离=图上距离÷比例尺”，第一幅地图比例尺为$1:400000$，图上距离50cm，可得：
$50÷\frac{1}{400000}=20000000$（厘米）
2. 计算第二幅地图的比例尺：
已知第二幅地图上甲、乙两地图上距离10cm，实际距离20000000cm，比例尺为：
$10:20000000=1:2000000$
3. 计算乙、丙两地的实际距离：
根据“实际距离=图上距离÷比例尺”，第二幅地图上乙、丙两地图上距离15cm，比例尺$1:2000000$，可得：
$15÷\frac{1}{2000000}=30000000$（厘米）
4. 单位换算：
因为1千米=100000厘米，所以$30000000$厘米$=30000000÷100000=300$千米
答：乙、丙两地的实际距离是300千米。
【答案】
300千米
【知识点】
比例尺的应用、图上距离与实际距离换算、长度单位换算
【点评】
本题核心考查比例尺的灵活运用，解题关键是抓住甲、乙两地实际距离不变的特点，先推导第二幅地图的比例尺，再计算乙、丙两地实际距离，计算时需注意单位的统一与换算，避免因单位失误出错。
【难度系数】
0.6
给下面的零件表面电镀一层金，镀金面积有多大？（单位：cm）
答案
$2×3.14×3×8×(360-60)÷360 = 125.6$（$\mathrm{cm}^2$）
$2×3.14×3^2×(360-60)÷360 = 47.1$（$\mathrm{cm}^2$）
$3.14×3×8 = 75.36$（$\mathrm{cm}^2$）
$125.6 + 47.1 + 75.36 = 248.06$（$\mathrm{cm}^2$）
答：镀金面积是248.06平方厘米。
$2×3.14×3^2×(360-60)÷360 = 47.1$（$\mathrm{cm}^2$）
$3.14×3×8 = 75.36$（$\mathrm{cm}^2$）
$125.6 + 47.1 + 75.36 = 248.06$（$\mathrm{cm}^2$）
答：镀金面积是248.06平方厘米。
解析
【分析】
要计算该零件的镀金面积，需将零件表面的各部分面积分别计算后求和。该零件的表面由三部分组成：① 圆心角为300°的圆柱侧面积部分（原圆柱去掉60°对应的侧面积）；② 两个圆心角为300°的扇形面积和（原圆柱两个底面去掉60°后的面积）；③ 圆锥的侧面积。我们分别计算这三部分的面积，再相加即可得到总镀金面积。
【解析】
1. 计算圆柱剩余部分的侧面积：
圆柱侧面积公式为$S_{圆柱侧}=2π rh$，该零件圆柱部分的圆心角占比为$\frac{360° - 60°}{360°}=\frac{5}{6}$，则剩余侧面积为：
$\begin{aligned}S_{1}&=2×3.14×3×8×\frac{360-60}{360}\\&=150.72×\frac{5}{6}\\&=125.6\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
2. 计算圆柱剩余部分的两个底面积：
圆柱一个底面积为$π r^2$，两个底面积为$2π r^2$，剩余部分占比为$\frac{5}{6}$，则两个剩余底面积和为：
$\begin{aligned}S_{2}&=2×3.14×3^2×\frac{360-60}{360}\\&=56.52×\frac{5}{6}\\&=47.1\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
3. 计算圆锥的侧面积：
圆锥侧面积公式为$S_{圆锥侧}=π rl$（其中$l$为圆锥母线长，本题中$l=8\mathrm{cm}$），则：
$\begin{aligned}S_{3}&=3.14×3×8\\&=75.36\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
4. 计算总镀金面积：
将三部分面积相加：
$\begin{aligned}S_{总}&=S_{1}+S_{2}+S_{3}\\&=125.6+47.1+75.36\\&=248.06\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
答：镀金面积是248.06平方厘米。
【答案】
248.06平方厘米
【知识点】
圆柱表面积计算、圆锥侧面积计算、扇形面积占比
【点评】
本题考查组合立体图形的表面积计算，核心是准确拆分零件的表面组成，明确圆柱部分需按缺失后的角度占比计算对应面积，同时要熟练掌握圆柱、圆锥的侧面积及圆的面积公式，具备一定的空间想象能力。
【难度系数】
0.4
要计算该零件的镀金面积，需将零件表面的各部分面积分别计算后求和。该零件的表面由三部分组成：① 圆心角为300°的圆柱侧面积部分（原圆柱去掉60°对应的侧面积）；② 两个圆心角为300°的扇形面积和（原圆柱两个底面去掉60°后的面积）；③ 圆锥的侧面积。我们分别计算这三部分的面积，再相加即可得到总镀金面积。
【解析】
1. 计算圆柱剩余部分的侧面积：
圆柱侧面积公式为$S_{圆柱侧}=2π rh$，该零件圆柱部分的圆心角占比为$\frac{360° - 60°}{360°}=\frac{5}{6}$，则剩余侧面积为：
$\begin{aligned}S_{1}&=2×3.14×3×8×\frac{360-60}{360}\\&=150.72×\frac{5}{6}\\&=125.6\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
2. 计算圆柱剩余部分的两个底面积：
圆柱一个底面积为$π r^2$，两个底面积为$2π r^2$，剩余部分占比为$\frac{5}{6}$，则两个剩余底面积和为：
$\begin{aligned}S_{2}&=2×3.14×3^2×\frac{360-60}{360}\\&=56.52×\frac{5}{6}\\&=47.1\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
3. 计算圆锥的侧面积：
圆锥侧面积公式为$S_{圆锥侧}=π rl$（其中$l$为圆锥母线长，本题中$l=8\mathrm{cm}$），则：
$\begin{aligned}S_{3}&=3.14×3×8\\&=75.36\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
4. 计算总镀金面积：
将三部分面积相加：
$\begin{aligned}S_{总}&=S_{1}+S_{2}+S_{3}\\&=125.6+47.1+75.36\\&=248.06\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
答：镀金面积是248.06平方厘米。
【答案】
248.06平方厘米
【知识点】
圆柱表面积计算、圆锥侧面积计算、扇形面积占比
【点评】
本题考查组合立体图形的表面积计算，核心是准确拆分零件的表面组成，明确圆柱部分需按缺失后的角度占比计算对应面积，同时要熟练掌握圆柱、圆锥的侧面积及圆的面积公式，具备一定的空间想象能力。
【难度系数】
0.4
