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例2 已知甲、乙两地相距 $120$ km，汽车以 $a$ km/h 的速度从甲地开往乙地.
(1)汽车从甲地到乙地所用的时间为h；
(2)另有一辆摩托车，与汽车同时出发，且以 $b$ km/h 的速度从乙地驶往甲地，经过h 与汽车相遇.
(1)汽车从甲地到乙地所用的时间为h；
(2)另有一辆摩托车，与汽车同时出发，且以 $b$ km/h 的速度从乙地驶往甲地，经过h 与汽车相遇.
答案
解：
(1) 根据时间=路程÷速度，可得汽车从甲地到乙地所用的时间为 $\frac{120}{a}$ h。
(2) 设经过$t$ h与汽车相遇，
由题意得：$at + bt = 120$，
整理得：$t(a + b) = 120$，
解得：$t = \frac{120}{a + b}$，
即经过$\frac{120}{a + b}$ h与汽车相遇。
(1) 根据时间=路程÷速度，可得汽车从甲地到乙地所用的时间为 $\frac{120}{a}$ h。
(2) 设经过$t$ h与汽车相遇，
由题意得：$at + bt = 120$，
整理得：$t(a + b) = 120$，
解得：$t = \frac{120}{a + b}$，
即经过$\frac{120}{a + b}$ h与汽车相遇。
1. 下列判断中，错误的是()
A.代数式$\dfrac{a^{2} + ab}{a}$是分式
B.当 $x = 2$ 时，分式$\dfrac{x - 2}{2x - 4}$的值为 $0$
C.当 $a = \dfrac{2}{3}$ 时，分式$\dfrac{3a - 2}{a + 1}$有意义
D.当 $m = - 3$ 时，分式$\dfrac{m - 3}{m + 3}$无意义
A.代数式$\dfrac{a^{2} + ab}{a}$是分式
B.当 $x = 2$ 时，分式$\dfrac{x - 2}{2x - 4}$的值为 $0$
C.当 $a = \dfrac{2}{3}$ 时，分式$\dfrac{3a - 2}{a + 1}$有意义
D.当 $m = - 3$ 时，分式$\dfrac{m - 3}{m + 3}$无意义
答案
B
解析
根据分式的相关概念逐一分析：
选项A：$\dfrac{a^{2}+ab}{a}$的分母含字母，是分式，判断正确；
选项B：当$x=2$时，分母$2x-4=0$，分式无意义，而非值为0，判断错误；
选项C：当$a=\dfrac{2}{3}$时，分母$a+1=\dfrac{5}{3}≠0$，分式有意义，判断正确；
选项D：当$m=-3$时，分母$m+3=0$，分式无意义，判断正确。
综上，错误的是选项B。
选项A：$\dfrac{a^{2}+ab}{a}$的分母含字母，是分式，判断正确；
选项B：当$x=2$时，分母$2x-4=0$，分式无意义，而非值为0，判断错误；
选项C：当$a=\dfrac{2}{3}$时，分母$a+1=\dfrac{5}{3}≠0$，分式有意义，判断正确；
选项D：当$m=-3$时，分母$m+3=0$，分式无意义，判断正确。
综上，错误的是选项B。
2. 根据下列表格信息，$y$ 可能为()
A.$\dfrac{x - 2}{x - 1}$
B.$\dfrac{x - 1}{x - 2}$
C.$\dfrac{x + 1}{x - 2}$
D.$\dfrac{x - 2}{x + 1}$
A.$\dfrac{x - 2}{x - 1}$
B.$\dfrac{x - 1}{x - 2}$
C.$\dfrac{x + 1}{x - 2}$
D.$\dfrac{x - 2}{x + 1}$
答案
C
解析
1. 由x=2时y无意义，可知分式分母在x=2时为0，排除A、D；2. 由x=-1时y=0，可知分式分子在x=-1时为0且分母不为0：选项B分子x-1在x=-1时不为0，不符合；选项C分子x+1在x=-1时为0，分母x-2不为0，符合条件。综上，y可能为选项C。
二、填空题
3. (1)绿化队原来用漫灌方式浇绿地，$a$ 天用水 $m$ t，现在改用喷灌方式，同样多的水可多用 $3$ 天，现在每天用水t.
(2)某生产车间要制造 $800$ 个零件，原计划每天制造 $x$ 个，因受原材料供应的制约，每天少制造 $y$ 个，实际完工这批零件需要天.
3. (1)绿化队原来用漫灌方式浇绿地，$a$ 天用水 $m$ t，现在改用喷灌方式，同样多的水可多用 $3$ 天，现在每天用水t.
(2)某生产车间要制造 $800$ 个零件，原计划每天制造 $x$ 个，因受原材料供应的制约，每天少制造 $y$ 个，实际完工这批零件需要天.
答案
解：
(1) 现在用水天数为$(a+3)$天，总用水量为$m$ t，
则现在每天用水量为$\frac{m}{a+3}$ t。
(2) 实际每天制造零件的数量为$(x-y)$个，总零件数为800个，
则实际完工这批零件需要$\frac{800}{x-y}$天。
(1) 现在用水天数为$(a+3)$天，总用水量为$m$ t，
则现在每天用水量为$\frac{m}{a+3}$ t。
(2) 实际每天制造零件的数量为$(x-y)$个，总零件数为800个，
则实际完工这批零件需要$\frac{800}{x-y}$天。
4. 在 $3x - 4$，$\dfrac{b - 5}{a + 1}$，$\dfrac{2x + 3y}{5}$，$\dfrac{a(y + 4)}{6}$，$0$，$\dfrac{x^{2}}{x}$，$\dfrac{7}{a + c}$，其中分式是，整式是.
答案
分式：$\dfrac{b - 5}{a + 1}$，$\dfrac{x^{2}}{x}$，$\dfrac{7}{a + c}$；整式：$3x - 4$，$\dfrac{2x + 3y}{5}$，$\dfrac{a(y + 4)}{6}$，$0$
解析
根据分式的定义（形如$\dfrac{A}{B}$，其中$A$、$B$是整式，且$B$中含有字母）和整式的定义（单项式与多项式的统称，分母不含字母或分母为常数），对各式子逐一判断：
1. $3x - 4$是多项式，属于整式；
2. $\dfrac{b - 5}{a + 1}$分母含字母，是分式；
3. $\dfrac{2x + 3y}{5}$分母为常数，是多项式，属于整式；
4. $\dfrac{a(y + 4)}{6}$分母为常数，是多项式，属于整式；
5. $0$是单项式，属于整式；
6. $\dfrac{x^{2}}{x}$分母含字母，是分式；
7. $\dfrac{7}{a + c}$分母含字母，是分式。
1. $3x - 4$是多项式，属于整式；
2. $\dfrac{b - 5}{a + 1}$分母含字母，是分式；
3. $\dfrac{2x + 3y}{5}$分母为常数，是多项式，属于整式；
4. $\dfrac{a(y + 4)}{6}$分母为常数，是多项式，属于整式；
5. $0$是单项式，属于整式；
6. $\dfrac{x^{2}}{x}$分母含字母，是分式；
7. $\dfrac{7}{a + c}$分母含字母，是分式。
三、解答题
5. 当 $x$ 取何值时，下列分式有意义？
（1）$\dfrac{9}{x - 1}$；（2）$\dfrac{x - 5}{2x + 4}$；（3）$\dfrac{x - 4}{5x + 4}$；（4）$\dfrac{x - 5}{x^{2} + 1}$.
5. 当 $x$ 取何值时，下列分式有意义？
（1）$\dfrac{9}{x - 1}$；（2）$\dfrac{x - 5}{2x + 4}$；（3）$\dfrac{x - 4}{5x + 4}$；（4）$\dfrac{x - 5}{x^{2} + 1}$.
答案
解：
（1）要使分式$\dfrac{9}{x - 1}$有意义，需分母不为零，即
$x - 1 ≠ 0$
解得$x ≠ 1$
∴当$x ≠ 1$时，分式$\dfrac{9}{x - 1}$有意义。
（2）要使分式$\dfrac{x - 5}{2x + 4}$有意义，需分母不为零，即
$2x + 4 ≠ 0$
解得$x ≠ -2$
∴当$x ≠ -2$时，分式$\dfrac{x - 5}{2x + 4}$有意义。
（3）要使分式$\dfrac{x - 4}{5x + 4}$有意义，需分母不为零，即
$5x + 4 ≠ 0$
解得$x ≠ -\dfrac{4}{5}$
∴当$x ≠ -\dfrac{4}{5}$时，分式$\dfrac{x - 4}{5x + 4}$有意义。
（4）要使分式$\dfrac{x - 5}{x^{2} + 1}$有意义，需分母不为零，
∵$x^2 ≥ 0$，∴$x^2 + 1 ≥ 1$，即$x^2 + 1$恒不为零，
∴$x$取任意实数时，分式$\dfrac{x - 5}{x^{2} + 1}$都有意义。
（1）要使分式$\dfrac{9}{x - 1}$有意义，需分母不为零，即
$x - 1 ≠ 0$
解得$x ≠ 1$
∴当$x ≠ 1$时，分式$\dfrac{9}{x - 1}$有意义。
（2）要使分式$\dfrac{x - 5}{2x + 4}$有意义，需分母不为零，即
$2x + 4 ≠ 0$
解得$x ≠ -2$
∴当$x ≠ -2$时，分式$\dfrac{x - 5}{2x + 4}$有意义。
（3）要使分式$\dfrac{x - 4}{5x + 4}$有意义，需分母不为零，即
$5x + 4 ≠ 0$
解得$x ≠ -\dfrac{4}{5}$
∴当$x ≠ -\dfrac{4}{5}$时，分式$\dfrac{x - 4}{5x + 4}$有意义。
（4）要使分式$\dfrac{x - 5}{x^{2} + 1}$有意义，需分母不为零，
∵$x^2 ≥ 0$，∴$x^2 + 1 ≥ 1$，即$x^2 + 1$恒不为零，
∴$x$取任意实数时，分式$\dfrac{x - 5}{x^{2} + 1}$都有意义。
