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15. 如图，在平面直角坐标系$ xOy $中，点$ A $的坐标为$(9,0)$，点$ C $的坐标为$(0,3)$，以$ OA $，$ OC $为边作矩形$ OABC $。动点$ E $，$ F $分别从点$ O $，$ B $同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿$ OA $，$ BC $向终点$ A $，$ C $移动。当移动时间为$ 4 \mathrm{ s} $时，连接$ AC $，$ EF $，则$ AC · EF $的值为。
答案
当移动时间为4s时，点E从O出发沿OA移动，速度为1单位/s，故OE=4，E点坐标为(4,0)；点F从B出发沿BC移动，B点坐标为(9,3)，BC方向向左，移动距离为4，故F点坐标为(9-4,3)=(5,3)。
AC为矩形对角线，A(9,0)，C(0,3)，由两点间距离公式：
$AC=\sqrt{(9-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$。
EF为E(4,0)与F(5,3)的距离，由两点间距离公式：
$EF=\sqrt{(5-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
则$AC· EF=3\sqrt{10}×\sqrt{10}=3×10=30$。
30
AC为矩形对角线，A(9,0)，C(0,3)，由两点间距离公式：
$AC=\sqrt{(9-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$。
EF为E(4,0)与F(5,3)的距离，由两点间距离公式：
$EF=\sqrt{(5-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
则$AC· EF=3\sqrt{10}×\sqrt{10}=3×10=30$。
30
16. 如图，在正方形$ ABCD $中，$ E $，$ F $分别为边$ BC $，$ CD $上的动点，连接$ AE $，$ AF $，$ EF $。若$ ∠ EAF = 45^{\circ} $，$ ∠ BAE = α $，则$ ∠ AEF $可表示为。(用含$ α $的式子表示)
答案
在正方形$ABCD$中，$∠ BAD = 90°$，$AB = AD$。
已知$∠ BAE = α$，$∠ EAF = 45°$，则$∠ DAF = ∠ BAD - ∠ BAE - ∠ EAF = 90° - α - 45° = 45° - α$。
将$△ ADF$绕点$A$顺时针旋转$90°$，使$AD$与$AB$重合，得到$△ ABG$。则$AG = AF$，$∠ BAG = ∠ DAF = 45° - α$，$BG = DF$。
$∠ GAE = ∠ BAE + ∠ BAG = α + (45° - α) = 45° = ∠ EAF$。
在$△ GAE$和$△ FAE$中，$\{\begin{array}{l} AG = AF \\ ∠ GAE = ∠ FAE \\ AE = AE \end{array} $，
$\therefore △ GAE ≌ △ FAE(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ AEF = ∠ AEG$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB = 90° - ∠ BAE = 90° - α$。
$\because$点$G$在$CB$延长线上，$\therefore ∠ AEG = ∠ AEB = 90° - α$。
综上，$∠ AEF = 90° - α$。
$90° - α$
已知$∠ BAE = α$，$∠ EAF = 45°$，则$∠ DAF = ∠ BAD - ∠ BAE - ∠ EAF = 90° - α - 45° = 45° - α$。
将$△ ADF$绕点$A$顺时针旋转$90°$，使$AD$与$AB$重合，得到$△ ABG$。则$AG = AF$，$∠ BAG = ∠ DAF = 45° - α$，$BG = DF$。
$∠ GAE = ∠ BAE + ∠ BAG = α + (45° - α) = 45° = ∠ EAF$。
在$△ GAE$和$△ FAE$中，$\{\begin{array}{l} AG = AF \\ ∠ GAE = ∠ FAE \\ AE = AE \end{array} $，
$\therefore △ GAE ≌ △ FAE(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ AEF = ∠ AEG$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB = 90° - ∠ BAE = 90° - α$。
$\because$点$G$在$CB$延长线上，$\therefore ∠ AEG = ∠ AEB = 90° - α$。
综上，$∠ AEF = 90° - α$。
$90° - α$
17. 如图，$ M $为矩形纸片$ ABCD $的边$ AD $上的一点，将纸片沿$ MC $所在的直线折叠，使点$ D $落在点$ D' $处，$ MD' $与$ BC $交于点$ N $。继续折叠矩形纸片，使点$ A $恰好落在直线$ MD' $上的点$ A' $处，点$ B $落在点$ B' $处，折痕为$ ME $。若$ MN = 3\sqrt{2} $，则$ EC $的长为。
答案
$6$
解析
解：
1. 折叠性质与等腰三角形：
矩形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，折叠后 $∠ DMC = ∠ D'MC$，由内错角相等得 $∠ DMC = ∠ NCM$，故 $∠ D'MC = ∠ NCM$，因此 $△ MNC$ 为等腰三角形，$MN = NC = 3\sqrt{2}$。
2. 设未知数与方程建立：
设 $MD = t$，$CD = b$，由勾股定理及折叠性质得：
在 $△ MNC$ 中，$MN^2 = (t - 3\sqrt{2})^2 + b^2 = 18$；
由折叠后 $CD' = CD = b$ 及勾股定理得 $b^2 + t^2 = 6\sqrt{2}t$。
3. 求解 $t$ 与 $b$ 的关系：
联立方程 $(t - 3\sqrt{2})^2 + b^2 = 18$ 和 $b^2 = 6\sqrt{2}t - t^2$，化简得 $t = b$，即 $MD = CD$，$△ MDC$ 为等腰直角三角形，$∠ DMC = 45°$。
4. 求 $EC$ 的长度：
由 $∠ DMC = 45°$，$△ MNC$ 为等腰直角三角形，$MC = \sqrt{MN^2 + NC^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = 6$。
折叠后 $EC = MC = 6$。
1. 折叠性质与等腰三角形：
矩形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，折叠后 $∠ DMC = ∠ D'MC$，由内错角相等得 $∠ DMC = ∠ NCM$，故 $∠ D'MC = ∠ NCM$，因此 $△ MNC$ 为等腰三角形，$MN = NC = 3\sqrt{2}$。
2. 设未知数与方程建立：
设 $MD = t$，$CD = b$，由勾股定理及折叠性质得：
在 $△ MNC$ 中，$MN^2 = (t - 3\sqrt{2})^2 + b^2 = 18$；
由折叠后 $CD' = CD = b$ 及勾股定理得 $b^2 + t^2 = 6\sqrt{2}t$。
3. 求解 $t$ 与 $b$ 的关系：
联立方程 $(t - 3\sqrt{2})^2 + b^2 = 18$ 和 $b^2 = 6\sqrt{2}t - t^2$，化简得 $t = b$，即 $MD = CD$，$△ MDC$ 为等腰直角三角形，$∠ DMC = 45°$。
4. 求 $EC$ 的长度：
由 $∠ DMC = 45°$，$△ MNC$ 为等腰直角三角形，$MC = \sqrt{MN^2 + NC^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = 6$。
折叠后 $EC = MC = 6$。
18. 在平面直角坐标系中，若点$ P(m - 2,-m + 3a + 2) $始终处于一次函数$ y = -x + 2 - a $的图象的下方，则$ a $的取值范围为。
答案
因为点$ P(m - 2,-m + 3a + 2) $始终在一次函数$ y = -x + 2 - a $的图象下方，所以点$ P $的纵坐标小于该函数在点$ P $横坐标处的函数值。
点$ P $的横坐标为$ x = m - 2 $，代入函数得函数值：$ y = -(m - 2) + 2 - a = -m + 4 - a $。
点$ P $的纵坐标为$ -m + 3a + 2 $，由题意得：$ -m + 3a + 2 ＜ -m + 4 - a $。
化简不等式：$ 3a + 2 ＜ 4 - a $，移项得$ 4a ＜ 2 $，解得$ a ＜ \frac{1}{2} $。
$ a ＜ \frac{1}{2} $
点$ P $的横坐标为$ x = m - 2 $，代入函数得函数值：$ y = -(m - 2) + 2 - a = -m + 4 - a $。
点$ P $的纵坐标为$ -m + 3a + 2 $，由题意得：$ -m + 3a + 2 ＜ -m + 4 - a $。
化简不等式：$ 3a + 2 ＜ 4 - a $，移项得$ 4a ＜ 2 $，解得$ a ＜ \frac{1}{2} $。
$ a ＜ \frac{1}{2} $
