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问题 1：通过计算说明这两组数能否满足 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $.
答案
(1)$2.5^{2}=6.25$，$6^{2}=36$，$6.5^{2}=42.25$．
$6.25+36=42.25$，所以满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$．
(2)$5^{2}=25$，$12^{2}=144$，$13^{2}=169$，
$25+144=169$，所以满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$．
$6.25+36=42.25$，所以满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$．
(2)$5^{2}=25$，$12^{2}=144$，$13^{2}=169$，
$25+144=169$，所以满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$．
解析
【解析】
(1) 计算各数的平方：$2.5^{2}=6.25$，$6^{2}=36$，$6.5^{2}=42.25$；
计算较小两数的平方和：$6.25+36=42.25$，与最大数的平方相等，因此满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
(2) 计算各数的平方：$5^{2}=25$，$12^{2}=144$，$13^{2}=169$；
计算较小两数的平方和：$25+144=169$，与最大数的平方相等，因此满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【答案】
这两组数都能满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题是对勾股定理逆定理的基础应用，通过计算各数的平方和进行验证，需熟练掌握平方运算及此类验证方法。
【难度系数】
0.8
(1) 计算各数的平方：$2.5^{2}=6.25$，$6^{2}=36$，$6.5^{2}=42.25$；
计算较小两数的平方和：$6.25+36=42.25$，与最大数的平方相等，因此满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
(2) 计算各数的平方：$5^{2}=25$，$12^{2}=144$，$13^{2}=169$；
计算较小两数的平方和：$25+144=169$，与最大数的平方相等，因此满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【答案】
这两组数都能满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题是对勾股定理逆定理的基础应用，通过计算各数的平方和进行验证，需熟练掌握平方运算及此类验证方法。
【难度系数】
0.8
问题 2：分别以每组的三个数为三角形三边的长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
答案
图略，它们都是直角三角形．
解析
【解析】
图略。通过用量角器测量所作三角形的内角，可发现每个三角形中都有一个内角为90°，因此它们都是直角三角形。
【答案】
它们都是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的定义、三角形的作图
【点评】
本题借助动手作图与测量的实践方式，直观验证三角形是否为直角三角形，既巩固了直角三角形的核心特征，又能提升学生的动手操作能力与几何直观素养。
【难度系数】
0.8
图略。通过用量角器测量所作三角形的内角，可发现每个三角形中都有一个内角为90°，因此它们都是直角三角形。
【答案】
它们都是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的定义、三角形的作图
【点评】
本题借助动手作图与测量的实践方式，直观验证三角形是否为直角三角形，既巩固了直角三角形的核心特征，又能提升学生的动手操作能力与几何直观素养。
【难度系数】
0.8
【例 1】下列各组数中，是勾股数的为(
A. $ 1 $，$ 1 $，$ \sqrt{2} $
B. $ 1.5 $，$ 2 $，$ 2.5 $
C. $ 4 $，$ 5 $，$ 6 $
D. $ 5 $，$ 12 $，$ 13 $
规律方法
判断勾股数的方法
(1) 看是不是三个正整数；
(2) 找出最大数，计算两较小数的平方和及最大数的平方；
(3) 若两者相等，则是勾股数，否则不是勾股数.
D
)A. $ 1 $，$ 1 $，$ \sqrt{2} $
B. $ 1.5 $，$ 2 $，$ 2.5 $
C. $ 4 $，$ 5 $，$ 6 $
D. $ 5 $，$ 12 $，$ 13 $
规律方法
判断勾股数的方法
(1) 看是不是三个正整数；
(2) 找出最大数，计算两较小数的平方和及最大数的平方；
(3) 若两者相等，则是勾股数，否则不是勾股数.
答案
D
解析
【解析】
根据勾股数的判断方法逐一分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{2}$不是正整数，不符合勾股数的定义，排除；
2. 选项B：1.5、2.5不是正整数，不符合勾股数的定义，排除；
3. 选项C：$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足勾股定理，排除；
4. 选项D：$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，且5、12、13均为正整数，符合勾股数的定义。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义
【点评】
本题考查勾股数的判断，需紧扣勾股数的两个核心条件：三个正整数、满足两较小数的平方和等于最大数的平方，通过逐一分析选项即可得出正确结论。
【难度系数】
0.8
根据勾股数的判断方法逐一分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{2}$不是正整数，不符合勾股数的定义，排除；
2. 选项B：1.5、2.5不是正整数，不符合勾股数的定义，排除；
3. 选项C：$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足勾股定理，排除；
4. 选项D：$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，且5、12、13均为正整数，符合勾股数的定义。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义
【点评】
本题考查勾股数的判断，需紧扣勾股数的两个核心条件：三个正整数、满足两较小数的平方和等于最大数的平方，通过逐一分析选项即可得出正确结论。
【难度系数】
0.8
变式训练
1. 下面各组数中，是勾股数的是(
A.$ 0.6 $，$ 0.8 $，$ 1 $
B.$ 3 $，$ 4 $，$ 5 $
C.$ 1 $，$ 3 $，$ 10 $
D.$ 5 $，$ 11 $，$ 12 $
1. 下面各组数中，是勾股数的是(
B
)A.$ 0.6 $，$ 0.8 $，$ 1 $
B.$ 3 $，$ 4 $，$ 5 $
C.$ 1 $，$ 3 $，$ 10 $
D.$ 5 $，$ 11 $，$ 12 $
答案
1.B
解析
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。
选项A：0.6、0.8不是正整数，不符合勾股数定义；
选项B：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，且3、4、5均为正整数，符合勾股数定义；
选项C：$1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 ≠ 10^2$，不满足勾股定理；
选项D：$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146 ≠ 12^2$，不满足勾股定理。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的判定、勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判定，关键要牢记勾股数需同时满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是满足勾股定理。解题时可先排除非整数选项，再对剩余选项验证勾股定理。
【难度系数】
0.8
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。
选项A：0.6、0.8不是正整数，不符合勾股数定义；
选项B：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，且3、4、5均为正整数，符合勾股数定义；
选项C：$1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 ≠ 10^2$，不满足勾股定理；
选项D：$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146 ≠ 12^2$，不满足勾股定理。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的判定、勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判定，关键要牢记勾股数需同时满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是满足勾股定理。解题时可先排除非整数选项，再对剩余选项验证勾股定理。
【难度系数】
0.8
2. 若 $ a $，$ b $ 为一个直角三角形的两条直角边长，$ c $ 为斜边长，$ a $，$ b $，$ c $ 为勾股数，且 $ a = n + 7 $，$ c = n + 8 $，$ n $ 为正整数，求 $ b $ 的值（用含 $ n $ 的式子表示），并直接写出符合题意的 $ b $ 的最小值.
答案
2.解：$b=\sqrt{2n+15}$．符合题意的b的最小值为5．
解析
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$。
将$a = n + 7$，$c = n + 8$代入得：
$(n+7)^2 + b^2 = (n+8)^2$
展开并整理：
$n^2 + 14n + 49 + b^2 = n^2 + 16n + 64$
$b^2 = 2n + 15$
因为$b$是正整数（勾股数为正整数），所以$b = \sqrt{2n + 15}$（$b＞0$）。
要使$b$为正整数，$2n + 15$需为完全平方数，当$2n + 15 = 25$时，$n=5$，此时$b=5$，为符合题意的最小值。
【答案】
$b=\sqrt{2n+15}$，符合题意的$b$的最小值为5。
【知识点】
勾股定理、勾股数
【点评】
本题考查勾股定理的应用及勾股数的定义，通过建立方程求解$b$的表达式，再结合勾股数为正整数的条件确定$b$的最小值，侧重基础知识的运用与方程思想的考查。
【难度系数】
0.6
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$。
将$a = n + 7$，$c = n + 8$代入得：
$(n+7)^2 + b^2 = (n+8)^2$
展开并整理：
$n^2 + 14n + 49 + b^2 = n^2 + 16n + 64$
$b^2 = 2n + 15$
因为$b$是正整数（勾股数为正整数），所以$b = \sqrt{2n + 15}$（$b＞0$）。
要使$b$为正整数，$2n + 15$需为完全平方数，当$2n + 15 = 25$时，$n=5$，此时$b=5$，为符合题意的最小值。
【答案】
$b=\sqrt{2n+15}$，符合题意的$b$的最小值为5。
【知识点】
勾股定理、勾股数
【点评】
本题考查勾股定理的应用及勾股数的定义，通过建立方程求解$b$的表达式，再结合勾股数为正整数的条件确定$b$的最小值，侧重基础知识的运用与方程思想的考查。
【难度系数】
0.6
