【例 2】如图，已知在 $ △ ABC $ 中，$ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $，$ BD = 9 $，$ BC = 15 $，$ AC = 20 $.
(1) 求 $ CD $ 的长；
(2) 求 $ AB $ 的长；
(3) 判断 $ △ ABC $ 的形状.

规律方法
由三边判断三角形的形状时，先求出三边长，再利用勾股定理的逆定理进行判定.

【例2】解：(1)12． (2)25．
(3)$△ ABC$是直角三角形．

【解析】
(1) 因为 $CD ⊥ AB$，所以 $△ CDB$ 是直角三角形。
根据勾股定理，$CD^2 + BD^2 = BC^2$，将 $BD=9$，$BC=15$ 代入得：
$CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$。
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，根据勾股定理，$AD^2 + CD^2 = AC^2$，将 $AC=20$，$CD=12$ 代入得：
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$。
则 $AB = AD + BD = 16 + 9 = 25$。
(3) 已知 $AB=25$，$BC=15$，$AC=20$，计算得：
$BC^2 + AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，$AB^2 = 25^2 = 625$，
即 $BC^2 + AC^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$ 是直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$；
(2) $\boldsymbol{25}$；
(3) $\boldsymbol{△ ABC}$ 是直角三角形。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查勾股定理及其逆定理的应用，需先利用勾股定理求解边长，再通过逆定理判定三角形形状，计算时需保证结果准确。
【难度系数】
0.6

变式训练
3. 已知 $ a $，$ b $，$ c $ 满足条件 $ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 164 = 12a + 16b + 16c $，且 $ △ ABC $ 的三边长分别是 $ a + 6 $，$ b - 3 $，$ c + 5 $，试判断 $ △ ABC $ 的形状.

3.解：$△ ABC$为直角三角形．

【解析】
1. 对已知等式移项变形：
$a^2 + b^2 + c^2 + 164 - 12a - 16b - 16c = 0$，
2. 配方得：
$(a^2 - 12a + 36) + (b^2 - 16b + 64) + (c^2 - 16c + 64) = 0$，
即$(a - 6)^2 + (b - 8)^2 + (c - 8)^2 = 0$。
3. 根据非负数的性质，得$a - 6 = 0$，$b - 8 = 0$，$c - 8 = 0$，解得$a = 6$，$b = 8$，$c = 8$。
4. 计算$△ ABC$的三边长：
$a + 6 = 6 + 6 = 12$，$b - 3 = 8 - 3 = 5$，$c + 5 = 8 + 5 = 13$。
5. 验证三边关系：
因为$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，满足勾股定理的逆定理，所以$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$为直角三角形。
【知识点】
完全平方公式，勾股定理的逆定理，非负数的性质
【点评】
本题通过配方法结合非负数的性质求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，考查了配方思想与勾股定理逆定理的综合应用。
【难度系数】
0.6

4. 如图，$ △ ABC $ 内部有一点 $ D $，且 $ ∠ ADC = 90° $，$ AB = 13 $，$ BC = 12 $，$ AD = 4 $，$ CD = 3 $.
(1) 判断 $ △ ABC $ 的形状；
(2) 求阴影部分的面积.

4.解：(1)$△ ABC$是直角三角形．
(2)24．

【解析】
(1) 在$Rt△ADC$中，$∠ADC=90°$，$AD=4$，$CD=3$，
由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，则$AC=5$。
在$△ABC$中，$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，
因为$AC^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，
所以$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ABC$是直角三角形。
(2) 阴影部分的面积为$S_{△ABC}-S_{△ADC}$，
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$S_{△ADC}=\frac{1}{2}×AD×CD=\frac{1}{2}×4×3=6$，
因此阴影部分面积$=30-6=24$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{△ABC}$是直角三角形；
(2) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的综合应用，先通过勾股定理求出线段长度，再利用逆定理判断三角形形状，最后通过面积差求解阴影部分面积，需熟练掌握勾股定理相关知识及三角形面积计算方法。
【难度系数】
0.6

【例 3】如图(示意图)，一架无人机在空中点 $ A $ 处，点 $ A $ 与地面上点 $ B $ 之间的距离 $ AB = 20\ \mathrm{m} $，点 $ A $ 与地面上点 $ C $(点 $ B $，$ C $ 处于同一水平面上)的距离 $ AC = 25\ \mathrm{m} $，且 $ BC = 15\ \mathrm{m} $.
(1) 求 $ ∠ ABC $ 的度数；
(2) 现这架无人机沿 $ AB $ 所在直线向下飞行至点 $ D $ 处，若点 $ D $ 恰好在边 $ AC $ 的垂直平分线上，连接 $ CD $，求这架无人机向下飞行的距离($ AD $ 的长).

思路分析
思考 1：已知 $ AB $，$ AC $，$ BC $ 的长度，根据勾股定理的逆定理验证式子成立即可；
思考 2：在 $ △ DBC $ 中，利用定理列式求解.
解：
规律方法
利用勾股定理的逆定理解决实际问题的一般步骤
(1) 分析有用信息，明确已知和所求；
(2) 构建直角三角形模型；
(3) 利用勾股定理的逆定理求解.

思路分析
思考1：$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$
思考2：勾股
解：(1)$∠ ABC=90°$．
(2)这架无人机向下飞行的距离(AD的长)为$\frac{125}{8}$m．

【解析】
(1) 已知$AB=20\ \mathrm{m}$，$BC=15\ \mathrm{m}$，$AC=25\ \mathrm{m}$，
计算得$AB^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$，$AC^2=25^2=625$，
因此$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$。
(2) 设$AD=x\ \mathrm{m}$，则$BD=(20-x)\ \mathrm{m}$。
因为点$D$在$AC$的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质，$DC=DA=x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ DBC$中，由勾股定理得$BD^2+BC^2=DC^2$，
即$(20-x)^2+15^2=x^2$，
展开并化简：$400-40x+x^2+225=x^2$，
$625-40x=0$，
解得$x=\frac{125}{8}$，即$AD=\frac{125}{8}\ \mathrm{m}$，也就是无人机向下飞行的距离为$\frac{125}{8}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ ABC=90°}$；
(2) 这架无人机向下飞行的距离为$\boldsymbol{\frac{125}{8}\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查勾股定理及其逆定理、垂直平分线的性质，解题关键是结合图形，利用相关定理构建方程求解，体现了方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6