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变式训练
5. 如图，某日 22 时 30 分，某侦察艇在 $ A $ 处发现正西方向 $ C $ 处有一可疑船只，便立即通知正在某预定巡逻航线 $ PQ $ 上 $ B $ 处的巡逻艇注意其动向. 经观测，发现 $ A $，$ C $ 两处之间的距离为 $ 10\ \mathrm{n mile} $，$ A $，$ B $ 两处之间的距离为 $ 6\ \mathrm{n mile} $，$ B $，$ C $ 两处之间的距离为 $ 8\ \mathrm{n mile} $. 若测得该可疑船只的航行速度为 $ 12.8\ \mathrm{n mile/h} $，向正东方向行驶，则它何时到达 $ PQ $ 航线上的 $ D $ 处？
5. 如图，某日 22 时 30 分，某侦察艇在 $ A $ 处发现正西方向 $ C $ 处有一可疑船只，便立即通知正在某预定巡逻航线 $ PQ $ 上 $ B $ 处的巡逻艇注意其动向. 经观测，发现 $ A $，$ C $ 两处之间的距离为 $ 10\ \mathrm{n mile} $，$ A $，$ B $ 两处之间的距离为 $ 6\ \mathrm{n mile} $，$ B $，$ C $ 两处之间的距离为 $ 8\ \mathrm{n mile} $. 若测得该可疑船只的航行速度为 $ 12.8\ \mathrm{n mile/h} $，向正东方向行驶，则它何时到达 $ PQ $ 航线上的 $ D $ 处？
答案
5.解：该可疑船只在该日23时到达PQ航线上的D处．
解析
【解析】
1. 判断$△ ABC$的形状：
已知$AC=10\ \mathrm{n mile}$，$AB=6\ \mathrm{n mile}$，$BC=8\ \mathrm{n mile}$，
因为$6^2 + 8^2 = 10^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$。
2. 求$BD$的长度：
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BD$，
代入数据得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× BD$，
解得$BD=4.8\ \mathrm{n mile}$。
3. 求$CD$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，根据勾股定理，$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}$，
代入数据得$CD=\sqrt{8^2 - 4.8^2}=\sqrt{64 - 23.04}=\sqrt{40.96}=6.4\ \mathrm{n mile}$。
4. 计算行驶时间：
已知可疑船只速度为$12.8\ \mathrm{n mile/h}$，则行驶时间$t=\frac{6.4}{12.8}=0.5\ \mathrm{h}=30$分钟。
5. 计算到达时间：
22时30分加上30分钟为23时，故可疑船只23时到达$D$处。
【答案】
该可疑船只在该日23时到达PQ航线上的$D$处。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理在航海实际问题中的应用，通过几何计算求解距离，进而推算时间，体现了数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
1. 判断$△ ABC$的形状：
已知$AC=10\ \mathrm{n mile}$，$AB=6\ \mathrm{n mile}$，$BC=8\ \mathrm{n mile}$，
因为$6^2 + 8^2 = 10^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$。
2. 求$BD$的长度：
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BD$，
代入数据得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× BD$，
解得$BD=4.8\ \mathrm{n mile}$。
3. 求$CD$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，根据勾股定理，$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}$，
代入数据得$CD=\sqrt{8^2 - 4.8^2}=\sqrt{64 - 23.04}=\sqrt{40.96}=6.4\ \mathrm{n mile}$。
4. 计算行驶时间：
已知可疑船只速度为$12.8\ \mathrm{n mile/h}$，则行驶时间$t=\frac{6.4}{12.8}=0.5\ \mathrm{h}=30$分钟。
5. 计算到达时间：
22时30分加上30分钟为23时，故可疑船只23时到达$D$处。
【答案】
该可疑船只在该日23时到达PQ航线上的$D$处。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理在航海实际问题中的应用，通过几何计算求解距离，进而推算时间，体现了数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
1. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是(
A.$ 1 $，$ 2 $，$ 3 $
B.$ 2 $，$ 3 $，$ 4 $
C.$ \sqrt{3} $，$ \sqrt{4} $，$ \sqrt{5} $
D.$ 5 $，$ 12 $，$ 13 $
D
)A.$ 1 $，$ 2 $，$ 3 $
B.$ 2 $，$ 3 $，$ 4 $
C.$ \sqrt{3} $，$ \sqrt{4} $，$ \sqrt{5} $
D.$ 5 $，$ 12 $，$ 13 $
答案
1.D
解析
【解析】
根据勾股定理的逆定理，若三条线段长$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则能组成直角三角形，逐一验证选项：
选项A：$1^2+2^2=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不能组成直角三角形；
选项B：$2^2+3^2=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
选项C：$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{4})^2=3+4=7$，$(\sqrt{5})^2=5$，$7≠5$，不能组成直角三角形；
选项D：$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，满足$5^2+12^2=13^2$，能组成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题主要考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是准确计算各线段长的平方，判断是否满足直角三角形的判定条件，属于基础题。
【难度系数】
0.8
根据勾股定理的逆定理，若三条线段长$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则能组成直角三角形，逐一验证选项：
选项A：$1^2+2^2=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不能组成直角三角形；
选项B：$2^2+3^2=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
选项C：$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{4})^2=3+4=7$，$(\sqrt{5})^2=5$，$7≠5$，不能组成直角三角形；
选项D：$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，满足$5^2+12^2=13^2$，能组成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题主要考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是准确计算各线段长的平方，判断是否满足直角三角形的判定条件，属于基础题。
【难度系数】
0.8
2. 下列各组数中，为勾股数的是(
A.$ 9 $，$ 40 $，$ 41 $
B.$ 5 $，$ 6 $，$ 7 $
C.$ \dfrac{3}{2} $，$ 2 $，$ \dfrac{5}{2} $
D.$ \sqrt{3} $，$ \sqrt{4} $，$ \sqrt{5} $
A
)A.$ 9 $，$ 40 $，$ 41 $
B.$ 5 $，$ 6 $，$ 7 $
C.$ \dfrac{3}{2} $，$ 2 $，$ \dfrac{5}{2} $
D.$ \sqrt{3} $，$ \sqrt{4} $，$ \sqrt{5} $
答案
2.A
解析
【解析】
勾股数是指满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a$、$b$、$c$。逐一分析选项：
A选项：$9^2+40^2=81+1600=1681$，$41^2=1681$，即$9^2+40^2=41^2$，且均为正整数，符合勾股数定义；
B选项：$5^2+6^2=25+36=61$，$7^2=49$，$61≠49$，不满足勾股定理，不是勾股数；
C选项：$\dfrac{3}{2}$、$\dfrac{5}{2}$不是正整数，不符合勾股数的整数要求，不是勾股数；
D选项：$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$不是正整数，不符合勾股数的整数要求，不是勾股数。
因此，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义
【点评】
本题考查勾股数的判定，需牢记勾股数需同时满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是满足勾股定理，解题时需逐一验证选项。
【难度系数】
0.8
勾股数是指满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a$、$b$、$c$。逐一分析选项：
A选项：$9^2+40^2=81+1600=1681$，$41^2=1681$，即$9^2+40^2=41^2$，且均为正整数，符合勾股数定义；
B选项：$5^2+6^2=25+36=61$，$7^2=49$，$61≠49$，不满足勾股定理，不是勾股数；
C选项：$\dfrac{3}{2}$、$\dfrac{5}{2}$不是正整数，不符合勾股数的整数要求，不是勾股数；
D选项：$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$不是正整数，不符合勾股数的整数要求，不是勾股数。
因此，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义
【点评】
本题考查勾股数的判定，需牢记勾股数需同时满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是满足勾股定理，解题时需逐一验证选项。
【难度系数】
0.8
