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3. 如图，在边长均为 $ 1 $ 的正方形网格中，从在格点上的点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 中任取三点，所构成的三角形不是直角三角形的是(
A.$ △ ABD $
B.$ △ ADC $
C.$ △ BCD $
D.$ △ ABC $
C
)A.$ △ ABD $
B.$ △ ADC $
C.$ △ BCD $
D.$ △ ABC $
答案
3.C
解析
【解析】
利用勾股定理计算各三角形三边的平方，结合勾股定理的逆定理判断：
1. 对于$△ ABD$：$AB^2=1^2+2^2=5$，$BD^2=2^2+1^2=5$，$AD^2=1^2+3^2=10$，满足$AB^2+BD^2=AD^2$，是直角三角形；
2. 对于$△ ADC$：$AD^2=1^2+3^2=10$，$DC^2=3^2+1^2=10$，$AC^2=4^2+2^2=20$，满足$AD^2+DC^2=AC^2$，是直角三角形；
3. 对于$△ BCD$：$BD^2=2^2+1^2=5$，$CD^2=3^2+1^2=10$，$BC^2=5^2=25$，$5+10≠25$，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
4. 对于$△ ABC$：$AB^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=4^2+2^2=20$，$BC^2=5^2=25$，满足$AB^2+AC^2=BC^2$，是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，通过计算网格中线段的平方，利用勾股定理的逆定理可快速判断三角形是否为直角三角形，需准确计算各边的平方值。
【难度系数】
0.7
利用勾股定理计算各三角形三边的平方，结合勾股定理的逆定理判断：
1. 对于$△ ABD$：$AB^2=1^2+2^2=5$，$BD^2=2^2+1^2=5$，$AD^2=1^2+3^2=10$，满足$AB^2+BD^2=AD^2$，是直角三角形；
2. 对于$△ ADC$：$AD^2=1^2+3^2=10$，$DC^2=3^2+1^2=10$，$AC^2=4^2+2^2=20$，满足$AD^2+DC^2=AC^2$，是直角三角形；
3. 对于$△ BCD$：$BD^2=2^2+1^2=5$，$CD^2=3^2+1^2=10$，$BC^2=5^2=25$，$5+10≠25$，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
4. 对于$△ ABC$：$AB^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=4^2+2^2=20$，$BC^2=5^2=25$，满足$AB^2+AC^2=BC^2$，是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，通过计算网格中线段的平方，利用勾股定理的逆定理可快速判断三角形是否为直角三角形，需准确计算各边的平方值。
【难度系数】
0.7
4. 有一组勾股数，已知其中的两个数分别是 $ 24 $ 和 $ 7 $，则第三个数是
25
.答案
4.25
解析
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若24和7为直角边，则第三个数（斜边）为：
$\sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$，25是正整数，符合勾股数定义。
2. 若24为斜边，7为直角边，则第三个数为：
$\sqrt{24^2 - 7^2} = \sqrt{576 - 49} = \sqrt{527}$，$\sqrt{527}$不是整数，不符合勾股数定义，舍去。
综上，第三个数是25。
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，勾股数定义
【点评】
本题需分情况讨论第三个数为斜边或直角边的情况，注意勾股数必须是正整数，需舍去不符合条件的解，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
分两种情况讨论：
1. 若24和7为直角边，则第三个数（斜边）为：
$\sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$，25是正整数，符合勾股数定义。
2. 若24为斜边，7为直角边，则第三个数为：
$\sqrt{24^2 - 7^2} = \sqrt{576 - 49} = \sqrt{527}$，$\sqrt{527}$不是整数，不符合勾股数定义，舍去。
综上，第三个数是25。
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，勾股数定义
【点评】
本题需分情况讨论第三个数为斜边或直角边的情况，注意勾股数必须是正整数，需舍去不符合条件的解，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
5. 如图，已知在 $ △ ABC $ 中，$ AC = 4 $，$ BC = 3 $，$ AB = 5 $，$ AD $ 为 $ △ ABC $ 的角平分线，则 $ CD $ 的长为
$\frac{4}{3}$
.答案
5.$\frac{4}{3}$
解析
【解析】
首先，由$AC=4$，$BC=3$，$AB=5$，可得$AC^2+BC^2=4^2+3^2=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
设$CD=x$，则$BD=3-x$。
因为$AD$为$△ ABC$的角平分线，根据角平分线定理：三角形的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例，即$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，代入得$\frac{x}{3-x}=\frac{4}{5}$。
解方程：
$5x=4(3-x)$
$5x=12-4x$
$9x=12$
$x=\frac{4}{3}$，即$CD$的长为$\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，角平分线定理
【点评】
本题先利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，再结合角平分线定理求解线段长度，考查了对基础定理的综合运用能力，解题方法多样，也可通过面积法或勾股定理求解。
【难度系数】
0.6
首先，由$AC=4$，$BC=3$，$AB=5$，可得$AC^2+BC^2=4^2+3^2=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
设$CD=x$，则$BD=3-x$。
因为$AD$为$△ ABC$的角平分线，根据角平分线定理：三角形的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例，即$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，代入得$\frac{x}{3-x}=\frac{4}{5}$。
解方程：
$5x=4(3-x)$
$5x=12-4x$
$9x=12$
$x=\frac{4}{3}$，即$CD$的长为$\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，角平分线定理
【点评】
本题先利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，再结合角平分线定理求解线段长度，考查了对基础定理的综合运用能力，解题方法多样，也可通过面积法或勾股定理求解。
【难度系数】
0.6
6. 已知 $ △ ABC $ 的 $ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 所对的边分别为 $ a $，$ b $，$ c $，且 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ a + b = 10 $，$ ab = 18 $，$ c = 8 $，求 $ ∠ C $ 的大小.
答案
6.解：$90°$．
解析
【解析】
根据完全平方公式可得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a + b = 10$，$ab = 18$代入得：
$a^2 + b^2 = 10^2 - 2×18 = 100 - 36 = 64$
又因为$c = 8$，所以$c^2 = 8^2 = 64$
因此$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ABC$是直角三角形，且$∠C = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
勾股定理的逆定理，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理逆定理与完全平方公式的综合应用，关键是通过完全平方公式求出$a^2 + b^2$的值，再与$c^2$比较，判断三角形形状进而求出角的大小。
【难度系数】
0.6
根据完全平方公式可得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a + b = 10$，$ab = 18$代入得：
$a^2 + b^2 = 10^2 - 2×18 = 100 - 36 = 64$
又因为$c = 8$，所以$c^2 = 8^2 = 64$
因此$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ABC$是直角三角形，且$∠C = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
勾股定理的逆定理，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理逆定理与完全平方公式的综合应用，关键是通过完全平方公式求出$a^2 + b^2$的值，再与$c^2$比较，判断三角形形状进而求出角的大小。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，点 $ D $，$ E $ 分别是 $ AB $，$ BC $ 上的点，连接 $ ED $ 并延长交 $ CA $ 的延长线于点 $ F $，$ BD = 3 $，$ BE = 2 $，$ DE = \sqrt{5} $.
(1) 求证：$ EF ⊥ BC $.
(2) 求证：$ △ ADF $ 是等腰三角形.
(1) 求证：$ EF ⊥ BC $.
(2) 求证：$ △ ADF $ 是等腰三角形.
答案
7.证明：(1)因为$BD=3$，$BE=2$，$DE=\sqrt{5}$，
$2^{2}+(\sqrt{5})^{2}=9=3^{2}$，
所以$△ BDE$是直角三角形，$∠ BED=90°$，
所以$EF⊥ BC$．
(2)因为$AB=AC$，所以$∠ B=∠ C$．
因为$DE⊥ BC$，
所以$∠ BDE+∠ B=90°$，$∠ F+∠ C=90°$，
所以$∠ F=∠ BDE$．
因为$∠ BDE=∠ FDA$，
所以$∠ F=∠ FDA$，所以$AD=AF$，
所以$△ ADF$是等腰三角形．
$2^{2}+(\sqrt{5})^{2}=9=3^{2}$，
所以$△ BDE$是直角三角形，$∠ BED=90°$，
所以$EF⊥ BC$．
(2)因为$AB=AC$，所以$∠ B=∠ C$．
因为$DE⊥ BC$，
所以$∠ BDE+∠ B=90°$，$∠ F+∠ C=90°$，
所以$∠ F=∠ BDE$．
因为$∠ BDE=∠ FDA$，
所以$∠ F=∠ FDA$，所以$AD=AF$，
所以$△ ADF$是等腰三角形．
解析
【解析】
(1) 已知$BD=3$，$BE=2$，$DE=\sqrt{5}$，计算可得$2^2+(\sqrt{5})^2=9=3^2$，即$BE^2+DE^2=BD^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ BDE$是直角三角形，$∠ BED=90°$，因此$EF⊥ BC$。
(2) 因为$AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ B=∠ C$。由(1)知$EF⊥ BC$，所以$∠ BDE+∠ B=90°$，$∠ F+∠ C=90°$，结合$∠ B=∠ C$，可推出$∠ F=∠ BDE$。又因为$∠ BDE=∠ FDA$（对顶角相等），所以$∠ F=∠ FDA$，根据等腰三角形等角对等边的判定，得$AD=AF$，故$△ ADF$是等腰三角形。
【答案】
(1) 已证$EF⊥ BC$；(2) 已证$△ ADF$是等腰三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质与判定
【点评】
本题综合考查勾股定理逆定理和等腰三角形的性质与判定，解题关键是通过边长关系判定直角，再利用角度等量代换推导等腰三角形，注重基础定理的运用。
【难度系数】
0.6
(1) 已知$BD=3$，$BE=2$，$DE=\sqrt{5}$，计算可得$2^2+(\sqrt{5})^2=9=3^2$，即$BE^2+DE^2=BD^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ BDE$是直角三角形，$∠ BED=90°$，因此$EF⊥ BC$。
(2) 因为$AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ B=∠ C$。由(1)知$EF⊥ BC$，所以$∠ BDE+∠ B=90°$，$∠ F+∠ C=90°$，结合$∠ B=∠ C$，可推出$∠ F=∠ BDE$。又因为$∠ BDE=∠ FDA$（对顶角相等），所以$∠ F=∠ FDA$，根据等腰三角形等角对等边的判定，得$AD=AF$，故$△ ADF$是等腰三角形。
【答案】
(1) 已证$EF⊥ BC$；(2) 已证$△ ADF$是等腰三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质与判定
【点评】
本题综合考查勾股定理逆定理和等腰三角形的性质与判定，解题关键是通过边长关系判定直角，再利用角度等量代换推导等腰三角形，注重基础定理的运用。
【难度系数】
0.6
8. 在创建绿色文明城市的热潮中，某小区积极响应号召，社区管理人员与居民携手合作，对小区临街拐角进行绿化改造（如图），打造了一块别具生机的绿化地（阴影部分）. 经测量，这块绿化地边界构成四边形 $ ABCD $，已知 $ AB = 9\ \mathrm{m} $，$ BC = 12\ \mathrm{m} $，$ CD = 17\ \mathrm{m} $，$ AD = 8\ \mathrm{m} $，技术人员通过测量确定了 $ ∠ ABC = 90° $. 问：这片绿化地的面积是多少？
答案
8.解：这片绿化地的面积是$114m^{2}$．
解析
【解析】
连接AC，
因为$∠ ABC = 90°$，$AB = 9\ \mathrm{m}$，$BC = 12\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理得：$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\ \mathrm{m}$。
在$△ ACD$中，$AD = 8\ \mathrm{m}$，$AC = 15\ \mathrm{m}$，$CD = 17\ \mathrm{m}$，
因为$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$，即$AD^2 + AC^2 = CD^2$，
所以$△ ACD$是直角三角形，$∠ DAC = 90°$。
则绿化地的面积$= S_{△ ABC} + S_{△ ACD}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AD × AC$
$= \frac{1}{2} × 9 × 12 + \frac{1}{2} × 8 × 15$
$= 54 + 60$
$= 114\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
$114\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题通过连接辅助线AC将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理判定直角三角形，再结合割补法求出四边形面积，体现了转化思想在几何面积计算中的应用。
【难度系数】
0.6
连接AC，
因为$∠ ABC = 90°$，$AB = 9\ \mathrm{m}$，$BC = 12\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理得：$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\ \mathrm{m}$。
在$△ ACD$中，$AD = 8\ \mathrm{m}$，$AC = 15\ \mathrm{m}$，$CD = 17\ \mathrm{m}$，
因为$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$，即$AD^2 + AC^2 = CD^2$，
所以$△ ACD$是直角三角形，$∠ DAC = 90°$。
则绿化地的面积$= S_{△ ABC} + S_{△ ACD}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AD × AC$
$= \frac{1}{2} × 9 × 12 + \frac{1}{2} × 8 × 15$
$= 54 + 60$
$= 114\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
$114\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题通过连接辅助线AC将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理判定直角三角形，再结合割补法求出四边形面积，体现了转化思想在几何面积计算中的应用。
【难度系数】
0.6
