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4. 某地新建造一个大型购物超市，现需装饰一根高为$9\mathrm{m}$，底面半径为$\dfrac{2}{π}\mathrm{m}$的圆柱。如图（示意图），$A$，$B$分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一母线上。用一根彩带（宽度不计）从点$A$顺着圆柱侧面绕$3$圈到点$B$，那么这根彩带的长度最短是多少？
答案
4. 解：这根彩带的长度最短是$15\mathrm{m}$．
解析
【解析】
将圆柱侧面展开，把曲面问题转化为平面问题求解：
1. 计算圆柱底面周长：$C=2π r=2π×\dfrac{2}{π}=4\mathrm{m}$，由于彩带绕3圈，展开后水平方向总长度为$3×4=12\mathrm{m}$，竖直方向长度为圆柱的高$9\mathrm{m}$。
2. 根据勾股定理，彩带的最短长度为直角三角形的斜边长：$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=15\mathrm{m}$。
【答案】
$15\mathrm{m}$
【知识点】
圆柱侧面展开图、勾股定理、最短路径问题
【点评】
本题通过将圆柱侧面展开，把空间曲面的最短路径问题转化为平面直角三角形的边长求解问题，体现了转化思想的应用，关键是准确分析展开图中各边的长度。
【难度系数】
0.4
将圆柱侧面展开，把曲面问题转化为平面问题求解：
1. 计算圆柱底面周长：$C=2π r=2π×\dfrac{2}{π}=4\mathrm{m}$，由于彩带绕3圈，展开后水平方向总长度为$3×4=12\mathrm{m}$，竖直方向长度为圆柱的高$9\mathrm{m}$。
2. 根据勾股定理，彩带的最短长度为直角三角形的斜边长：$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=15\mathrm{m}$。
【答案】
$15\mathrm{m}$
【知识点】
圆柱侧面展开图、勾股定理、最短路径问题
【点评】
本题通过将圆柱侧面展开，把空间曲面的最短路径问题转化为平面直角三角形的边长求解问题，体现了转化思想的应用，关键是准确分析展开图中各边的长度。
【难度系数】
0.4
5. 一个棱长为$10\mathrm{cm}$的正方体盒子如图所示，现需从底部点$A$起，沿盒子的三个表面到顶部的点$B$张贴一条彩色纸带(纸带的宽度忽略不计)，则所需纸带的最短长度是
$10\sqrt{10}$
$\mathrm{cm}$。答案
5. $10\sqrt{10}$
解析
【解析】
将正方体的三个相邻表面展开为平面图形，此时点A到点B的线段即为所需纸带的最短路径。
已知正方体棱长为$10\mathrm{cm}$，展开后该路径所在直角三角形的两条直角边长度分别为$10\mathrm{cm}$和$30\mathrm{cm}$（$10×3$）。
根据勾股定理，纸带的最短长度为：$\sqrt{10^2 + (10×3)^2} = \sqrt{100 + 900} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$（$\mathrm{cm}$）。
【答案】
$10\sqrt{10}$
【知识点】
立体表面最短路径、勾股定理
【点评】
本题考查立体图形中的最短路径问题，核心是通过展开立体图形将问题转化为平面几何中的两点间最短距离问题，运用勾股定理求解，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.4
将正方体的三个相邻表面展开为平面图形，此时点A到点B的线段即为所需纸带的最短路径。
已知正方体棱长为$10\mathrm{cm}$，展开后该路径所在直角三角形的两条直角边长度分别为$10\mathrm{cm}$和$30\mathrm{cm}$（$10×3$）。
根据勾股定理，纸带的最短长度为：$\sqrt{10^2 + (10×3)^2} = \sqrt{100 + 900} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$（$\mathrm{cm}$）。
【答案】
$10\sqrt{10}$
【知识点】
立体表面最短路径、勾股定理
【点评】
本题考查立体图形中的最短路径问题，核心是通过展开立体图形将问题转化为平面几何中的两点间最短距离问题，运用勾股定理求解，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.4
6. 如图，一个长方体盒子，$BC = CD = 8$，$AB = 4$，求沿盒子表面从点$A$到点$D$的最短路程。
答案
6. 解：沿盒子表面从点$A$到点$D$的最短路程为$4\sqrt{13}$
解析
【解析】
要计算沿长方体表面从点$A$到点$D$的最短路程，需分三种情况将长方体表面展开，利用勾股定理计算路径长度后比较大小：
情况1：将面$ABC$与面$CDD$所在平面展开，此时直角三角形两条直角边为$AB + CD = 4 + 8 = 12$，$BC = 8$，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}$；
情况2：将面$ABB$与面$BCC$所在平面展开，此时直角三角形两条直角边为$BC + CD = 8 + 8 = 16$，$AB = 4$，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{16^2 + 4^2} = \sqrt{256 + 16} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}$；
情况3：将面$CCD$与面$DDA$所在平面展开，此时直角三角形两条直角边为$AB + BC = 4 + 8 = 12$，$CD = 8$，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{12^2 + 8^2} = 4\sqrt{13}$；
比较得$4\sqrt{13} ＜ 4\sqrt{17}$，故最短路程为$4\sqrt{13}$。
【答案】
$4\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理、立体图形展开图
【点评】
本题考查长方体表面最短路径问题，需通过分类讨论展开不同的面，利用勾股定理计算并比较路径长度，解题关键是全面考虑所有可能的展开方式，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
要计算沿长方体表面从点$A$到点$D$的最短路程，需分三种情况将长方体表面展开，利用勾股定理计算路径长度后比较大小：
情况1：将面$ABC$与面$CDD$所在平面展开，此时直角三角形两条直角边为$AB + CD = 4 + 8 = 12$，$BC = 8$，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}$；
情况2：将面$ABB$与面$BCC$所在平面展开，此时直角三角形两条直角边为$BC + CD = 8 + 8 = 16$，$AB = 4$，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{16^2 + 4^2} = \sqrt{256 + 16} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}$；
情况3：将面$CCD$与面$DDA$所在平面展开，此时直角三角形两条直角边为$AB + BC = 4 + 8 = 12$，$CD = 8$，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{12^2 + 8^2} = 4\sqrt{13}$；
比较得$4\sqrt{13} ＜ 4\sqrt{17}$，故最短路程为$4\sqrt{13}$。
【答案】
$4\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理、立体图形展开图
【点评】
本题考查长方体表面最短路径问题，需通过分类讨论展开不同的面，利用勾股定理计算并比较路径长度，解题关键是全面考虑所有可能的展开方式，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
7. 一个三级台阶模型如图所示，它的每一级的长、宽、高分别为$5\mathrm{cm}$，$3\mathrm{cm}$，$1\mathrm{cm}$，$A$和$B$是这个台阶模型的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点$A$出发经过台阶爬到点$B$的最短路线长为
$13$
$\mathrm{cm}$。答案
7. $13$
解析
【解析】
将台阶模型的侧面展开为平面长方形，该长方形的长为$3×3 + 1×3 = 12\mathrm{cm}$，宽为$5\mathrm{cm}$。根据勾股定理，蚂蚁从点$A$到点$B$的最短路线为长方形的对角线，长度为$\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\mathrm{cm}$。
【答案】
$13$
【知识点】
勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题考查立体图形中最短路径的求解，核心是将立体图形展开为平面图形，借助勾股定理计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
将台阶模型的侧面展开为平面长方形，该长方形的长为$3×3 + 1×3 = 12\mathrm{cm}$，宽为$5\mathrm{cm}$。根据勾股定理，蚂蚁从点$A$到点$B$的最短路线为长方形的对角线，长度为$\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\mathrm{cm}$。
【答案】
$13$
【知识点】
勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题考查立体图形中最短路径的求解，核心是将立体图形展开为平面图形，借助勾股定理计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
