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1. 如图，在$△ ABC$中，$AC = BC = 4$，$∠ ACB = 90°$，$D$是边$BC$的中点，$E$是边$AB$上一动点，求$EC + ED$的最小值。
答案
1. 解：$2\sqrt{5}$
解析
【解析】
作点$ C $关于$ AB $的对称点$ C' $，连接$ C'D $，交$ AB $于点$ E $，此时$ EC + ED $取得最小值，最小值为$ C'D $的长度。
1. 已知$ AC = BC = 4 $，$ ∠ ACB = 90° $，可得$ ∠ ABC = 45° $；根据对称性质，$ BC' = BC = 4 $，$ ∠ C'BA = ∠ CBA = 45° $，因此$ ∠ C'BC = 90° $。
2. 因为$ D $是$ BC $的中点，所以$ BD = \frac{1}{2}BC = 2 $。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ C'BD $中，由勾股定理得：
$ C'D = \sqrt{BC'^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $，即$ EC + ED $的最小值为$ 2\sqrt{5} $。
【答案】
$ 2\sqrt{5} $
【知识点】
将军饮马模型、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题考查最短路径问题，通过对称点将线段和转化为两点之间线段最短，结合勾股定理计算长度，需熟练掌握将军饮马模型的应用及勾股定理的运算。
【难度系数】
0.6
作点$ C $关于$ AB $的对称点$ C' $，连接$ C'D $，交$ AB $于点$ E $，此时$ EC + ED $取得最小值，最小值为$ C'D $的长度。
1. 已知$ AC = BC = 4 $，$ ∠ ACB = 90° $，可得$ ∠ ABC = 45° $；根据对称性质，$ BC' = BC = 4 $，$ ∠ C'BA = ∠ CBA = 45° $，因此$ ∠ C'BC = 90° $。
2. 因为$ D $是$ BC $的中点，所以$ BD = \frac{1}{2}BC = 2 $。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ C'BD $中，由勾股定理得：
$ C'D = \sqrt{BC'^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $，即$ EC + ED $的最小值为$ 2\sqrt{5} $。
【答案】
$ 2\sqrt{5} $
【知识点】
将军饮马模型、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题考查最短路径问题，通过对称点将线段和转化为两点之间线段最短，结合勾股定理计算长度，需熟练掌握将军饮马模型的应用及勾股定理的运算。
【难度系数】
0.6
2. 如图（示意图），要在河边修建一个水泵站，分别向张村$A$和李庄$B$送水，已知张村$A$、李庄$B$到河边的距离分别为$2\mathrm{km}$和$7\mathrm{km}$，且张村$A$与李庄$B$相距$13\mathrm{km}$。
(1) 水泵应建在什么地方，可使所铺设水管最短？请在图中设计出水泵站的位置。
(2) 如果铺设水管的工程费用为每千米$8$万元，请求出最节省的铺设水管的费用为多少万元。
(1) 水泵应建在什么地方，可使所铺设水管最短？请在图中设计出水泵站的位置。
(2) 如果铺设水管的工程费用为每千米$8$万元，请求出最节省的铺设水管的费用为多少万元。
答案
2. 解：（1）如图，作点$A$关于河边所在直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$交$l$于点$P$，则点$P$为水泵站的位置，此时$PA + PB$的值最小，即所铺设水管最短．
（2）最节省的铺设水管的费用为$120$万元．
解析
【解析】
(1) 作点$A$关于河边所在直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，与河边直线$l$交于点$P$，点$P$即为水泵站的位置，此时所铺设水管最短。
(2) 过点$A$作$AE ⊥ BB'$（$B'$为$B$到河边的垂足），可得$BE=7-2=5\mathrm{km}$，已知$AB=13\mathrm{km}$，由勾股定理得$AE=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12\mathrm{km}$。
由轴对称性质知$AA'=4\mathrm{km}$，则$A'B=\sqrt{12^{2}+(2+7)^{2}}=15\mathrm{km}$。
最节省的费用为$15×8=120$万元。
【答案】
(1) 作点$A$关于河边的对称点$A'$，连接$A'B$交河边于点$P$，点$P$即为水泵站位置；
(2) $120$万元。
【知识点】
轴对称最短路径，勾股定理
【点评】
本题将轴对称的性质与勾股定理结合，利用轴对称把最短路径问题转化为两点之间线段最短，再通过勾股定理计算线段长度求解费用，考查了轴对称和勾股定理的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 作点$A$关于河边所在直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，与河边直线$l$交于点$P$，点$P$即为水泵站的位置，此时所铺设水管最短。
(2) 过点$A$作$AE ⊥ BB'$（$B'$为$B$到河边的垂足），可得$BE=7-2=5\mathrm{km}$，已知$AB=13\mathrm{km}$，由勾股定理得$AE=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12\mathrm{km}$。
由轴对称性质知$AA'=4\mathrm{km}$，则$A'B=\sqrt{12^{2}+(2+7)^{2}}=15\mathrm{km}$。
最节省的费用为$15×8=120$万元。
【答案】
(1) 作点$A$关于河边的对称点$A'$，连接$A'B$交河边于点$P$，点$P$即为水泵站位置；
(2) $120$万元。
【知识点】
轴对称最短路径，勾股定理
【点评】
本题将轴对称的性质与勾股定理结合，利用轴对称把最短路径问题转化为两点之间线段最短，再通过勾股定理计算线段长度求解费用，考查了轴对称和勾股定理的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
3. 某滑雪场$U$型池的示意图如图所示，该场地可以看作从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为$\dfrac{12}{π}\mathrm{m}$的半圆，其边缘$AB = CD = 24\mathrm{m}$，点$E$在$CD$上，$CE = 4\mathrm{m}$，一名滑雪爱好者从点$A$滑到点$E$，求他滑行的最短路线长为多少米。
答案
3. 解：他滑行的最短路线长为$4\sqrt{34}\mathrm{m}$．
解析
【解析】
要计算从点A到点E的最短路线长，需将滑行的曲面展开为平面图形：
1. 计算半圆截面的弧长：已知半圆半径$r=\dfrac{12}{π}\mathrm{m}$，半圆的弧长$l=\dfrac{1}{2}×2πr=πr=π×\dfrac{12}{π}=12\mathrm{m}$。
2. 展开后得到长方形，其中一边为弧长12m，另一边为AB的长度24m。由CE=4m，可得展开图中A到E的纵向距离为$24-4=20\mathrm{m}$。
3. 此时A、E两点构成直角三角形的两个顶点，两条直角边分别为12m和20m，根据勾股定理，最短路线长$AE=\sqrt{12^2+20^2}=\sqrt{144+400}=\sqrt{544}=4\sqrt{34}\mathrm{m}$。
【答案】
$4\sqrt{34}\mathrm{m}$
【知识点】
曲面最短路径，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题考查曲面展开图与勾股定理的综合应用，解题关键是将曲面展开为平面，把空间路径问题转化为平面直角三角形的边长计算问题，需准确计算弧长与直角边长度。
【难度系数】
0.4
要计算从点A到点E的最短路线长，需将滑行的曲面展开为平面图形：
1. 计算半圆截面的弧长：已知半圆半径$r=\dfrac{12}{π}\mathrm{m}$，半圆的弧长$l=\dfrac{1}{2}×2πr=πr=π×\dfrac{12}{π}=12\mathrm{m}$。
2. 展开后得到长方形，其中一边为弧长12m，另一边为AB的长度24m。由CE=4m，可得展开图中A到E的纵向距离为$24-4=20\mathrm{m}$。
3. 此时A、E两点构成直角三角形的两个顶点，两条直角边分别为12m和20m，根据勾股定理，最短路线长$AE=\sqrt{12^2+20^2}=\sqrt{144+400}=\sqrt{544}=4\sqrt{34}\mathrm{m}$。
【答案】
$4\sqrt{34}\mathrm{m}$
【知识点】
曲面最短路径，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题考查曲面展开图与勾股定理的综合应用，解题关键是将曲面展开为平面，把空间路径问题转化为平面直角三角形的边长计算问题，需准确计算弧长与直角边长度。
【难度系数】
0.4
