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3. 如图，甲轮船以$16\ \mathrm{n mile/h}$的速度离开港口$O$向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知甲、乙两船离开港口$1.5\ \mathrm{h}$后分别到达$B$，$A$两点，且$AB = 30\ \mathrm{n mile}$，则乙轮船每小时航行(
A.$30\ \mathrm{n mile}$
B.$24\ \mathrm{n mile}$
C.$18\ \mathrm{n mile}$
D.$12\ \mathrm{n mile}$
D
)A.$30\ \mathrm{n mile}$
B.$24\ \mathrm{n mile}$
C.$18\ \mathrm{n mile}$
D.$12\ \mathrm{n mile}$
答案
3. D
解析
【解析】
由题意可知：$∠ AOB = 90°$，
甲轮船行驶的距离：$OB = 16×1.5 = 24(\mathrm{n mile})$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，根据勾股定理：
$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18(\mathrm{n mile})$，
则乙轮船的速度为：$18÷1.5 = 12(\mathrm{n mile/h})$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用，方向角的概念
【点评】
本题考查勾股定理在实际航海问题中的应用，解题关键是根据方向角判断出$△ AOB$为直角三角形，结合路程、速度、时间的关系进行求解。
【难度系数】
0.7
由题意可知：$∠ AOB = 90°$，
甲轮船行驶的距离：$OB = 16×1.5 = 24(\mathrm{n mile})$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，根据勾股定理：
$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18(\mathrm{n mile})$，
则乙轮船的速度为：$18÷1.5 = 12(\mathrm{n mile/h})$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用，方向角的概念
【点评】
本题考查勾股定理在实际航海问题中的应用，解题关键是根据方向角判断出$△ AOB$为直角三角形，结合路程、速度、时间的关系进行求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙底端的距离为$0.7\ \mathrm{m}$，顶端距离地面$2.4\ \mathrm{m}$。如果保持梯子底端不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面$2\ \mathrm{m}$，那么小巷的宽度为(
A.$0.7\ \mathrm{m}$
B.$1.5\ \mathrm{m}$
C.$2.2\ \mathrm{m}$
D.$2.4\ \mathrm{m}$
C
)A.$0.7\ \mathrm{m}$
B.$1.5\ \mathrm{m}$
C.$2.2\ \mathrm{m}$
D.$2.4\ \mathrm{m}$
答案
4. C
解析
【解析】
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=0.7m，AC=2.4m，
由勾股定理得：$AB^2=BC^2+AC^2=0.7^2+2.4^2=0.49+5.76=6.25$，
所以$AB=2.5\ \mathrm{m}$。
在Rt△A'BD中，∠A'DB=90°，A'D=2m，
由勾股定理得：$BD^2=AB^2-A'D^2=6.25-4=2.25$，
所以$BD=1.5\ \mathrm{m}$。
则小巷的宽度为$BC+BD=0.7+1.5=2.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的实际应用
【点评】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是抓住梯子长度不变这一隐含条件，两次运用勾股定理进行计算。
【难度系数】
0.7
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=0.7m，AC=2.4m，
由勾股定理得：$AB^2=BC^2+AC^2=0.7^2+2.4^2=0.49+5.76=6.25$，
所以$AB=2.5\ \mathrm{m}$。
在Rt△A'BD中，∠A'DB=90°，A'D=2m，
由勾股定理得：$BD^2=AB^2-A'D^2=6.25-4=2.25$，
所以$BD=1.5\ \mathrm{m}$。
则小巷的宽度为$BC+BD=0.7+1.5=2.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的实际应用
【点评】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是抓住梯子长度不变这一隐含条件，两次运用勾股定理进行计算。
【难度系数】
0.7
5. (传统文化)有一个关于荡秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地。送行二步与人齐，五尺人高曾记。仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉。良工高士素好奇，算出索长有几。”此问题可理解为：如图(示意图)，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离$AB$为$1$尺。将它往前水平推送$10$尺，即$A'C = 10$尺，则此时秋千的踏板离地距离$A'D$就和身高$5$尺的人一样高。若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索$OA$的长为
14.5
尺(步、尺是长度单位，$1$步$ = 5$尺)。答案
5. 14.5
解析
【解析】
设绳索$OA$的长为$x$尺，则$OA'=x$尺。
由题意可知：$A'D=5$尺，$AB=1$尺，$A'C=10$尺，
所以$CB=A'D - AB=5-1=4$尺，因此$OC=OA - CB=(x - 4)$尺。
在$Rt△ OCA'$中，根据勾股定理得：
$OC^2 + A'C^2 = OA'^2$，
即$(x - 4)^2 + 10^2 = x^2$，
展开得：$x^2 - 8x + 16 + 100 = x^2$，
化简解得：$x=14.5$。
【答案】
14.5
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题以传统文化中的荡秋千问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题关键是根据题意构建直角三角形，利用勾股定理列方程求解。
【难度系数】
0.6
设绳索$OA$的长为$x$尺，则$OA'=x$尺。
由题意可知：$A'D=5$尺，$AB=1$尺，$A'C=10$尺，
所以$CB=A'D - AB=5-1=4$尺，因此$OC=OA - CB=(x - 4)$尺。
在$Rt△ OCA'$中，根据勾股定理得：
$OC^2 + A'C^2 = OA'^2$，
即$(x - 4)^2 + 10^2 = x^2$，
展开得：$x^2 - 8x + 16 + 100 = x^2$，
化简解得：$x=14.5$。
【答案】
14.5
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题以传统文化中的荡秋千问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题关键是根据题意构建直角三角形，利用勾股定理列方程求解。
【难度系数】
0.6
6. 如图（示意图），已知某消防车的云梯最大能伸长$25\ \mathrm{m}$，在一次救援中，消防车云梯$CD$伸到最长$25\ \mathrm{m}$，它的底部与建筑物之间的水平距离$OD = 24\ \mathrm{m}$，云梯底部与地面$MN$的距离$DE = 2\ \mathrm{m}$。
(1) 求此时云梯顶端$C$离地面$MN$的高度为多少米。
(2) 若云梯顶端需要伸到距离地面$17\ \mathrm{m}$的$A$处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达$B$处？
(1) 求此时云梯顶端$C$离地面$MN$的高度为多少米。
(2) 若云梯顶端需要伸到距离地面$17\ \mathrm{m}$的$A$处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达$B$处？
答案
6. 解：(1)云梯顶端C离地面MN的高度为9m.
(2)消防车需要向建筑物方向移动4m到达B处.
(2)消防车需要向建筑物方向移动4m到达B处.
解析
【解析】
(1) 在$Rt△ COD$中，$∠ COD=90°$，$CD=25\ \mathrm{m}$，$OD=24\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{CD^2 - OD^2}=\sqrt{25^2 - 24^2}=7\ \mathrm{m}$，
因为$DE=2\ \mathrm{m}$，所以云梯顶端$C$离地面$MN$的高度为$OC + DE=7+2=9\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得，$A$处离地面$17\ \mathrm{m}$，则$AO=17 - 2=15\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$AB=25\ \mathrm{m}$，$AO=15\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{25^2 - 15^2}=20\ \mathrm{m}$，
因为$OD=24\ \mathrm{m}$，所以消防车需要移动的距离为$OD - OB=24-20=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$米；
(2) $\boldsymbol{4}$米。
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理求解。
【难度系数】
0.6
(1) 在$Rt△ COD$中，$∠ COD=90°$，$CD=25\ \mathrm{m}$，$OD=24\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{CD^2 - OD^2}=\sqrt{25^2 - 24^2}=7\ \mathrm{m}$，
因为$DE=2\ \mathrm{m}$，所以云梯顶端$C$离地面$MN$的高度为$OC + DE=7+2=9\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得，$A$处离地面$17\ \mathrm{m}$，则$AO=17 - 2=15\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$AB=25\ \mathrm{m}$，$AO=15\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{25^2 - 15^2}=20\ \mathrm{m}$，
因为$OD=24\ \mathrm{m}$，所以消防车需要移动的距离为$OD - OB=24-20=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$米；
(2) $\boldsymbol{4}$米。
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理求解。
【难度系数】
0.6
