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测量学校旗杆的高度
答案
答题卡填写如下：
选择一个晴朗的日子，当太阳可以照射到旗杆顶部时进行测量。
使用卷尺测量同一时刻旗杆的影子长度，记为$a$（单位：米）。
由于同一时刻物高与影长成比例，选择一个已知高度的物体（如1.5米的标杆），测量其影子长度，记为$b$（单位：米）。
根据比例关系，旗杆的高度$h$可以通过以下公式计算：
$\frac{h}{a} = \frac{1.5}{b}$
解这个方程，得到旗杆的高度$h$为：
$h = \frac{1.5 × a}{b}$（单位：米）。
（或者利用三角函数方法（假设已知太阳高度角$θ$）：
使用测角仪测量太阳高度角$θ$。
利用正弦函数的定义，有：
$\sinθ = \frac{h}{c}$ （其中$c$为通过其他方式（如步测）估计的旗杆顶点到测量点的直线距离（斜边），但此步骤对于八年级可能稍显复杂，通常建议使用影子长度法）。
但由于题目要求符合八年级下册第2课时内容，所以更推荐使用影子长度法。
综上，按照上述影子长度法的步骤，可以测量出学校旗杆的高度为$\frac{1.5a}{b}m$。
选择一个晴朗的日子，当太阳可以照射到旗杆顶部时进行测量。
使用卷尺测量同一时刻旗杆的影子长度，记为$a$（单位：米）。
由于同一时刻物高与影长成比例，选择一个已知高度的物体（如1.5米的标杆），测量其影子长度，记为$b$（单位：米）。
根据比例关系，旗杆的高度$h$可以通过以下公式计算：
$\frac{h}{a} = \frac{1.5}{b}$
解这个方程，得到旗杆的高度$h$为：
$h = \frac{1.5 × a}{b}$（单位：米）。
（或者利用三角函数方法（假设已知太阳高度角$θ$）：
使用测角仪测量太阳高度角$θ$。
利用正弦函数的定义，有：
$\sinθ = \frac{h}{c}$ （其中$c$为通过其他方式（如步测）估计的旗杆顶点到测量点的直线距离（斜边），但此步骤对于八年级可能稍显复杂，通常建议使用影子长度法）。
但由于题目要求符合八年级下册第2课时内容，所以更推荐使用影子长度法。
综上，按照上述影子长度法的步骤，可以测量出学校旗杆的高度为$\frac{1.5a}{b}m$。
解析
【解析】
选择一个晴朗的日子，在太阳可照射到旗杆顶部时开展测量：
1. 用卷尺测量同一时刻旗杆的影子长度，记为$a$（单位：米）；
2. 选取已知高度的物体（如1.5米的标杆），测量其同一时刻的影子长度，记为$b$（单位：米）；
3. 由于同一时刻物高与影长成比例，根据相似三角形原理，可得比例关系$\frac{h}{a} = \frac{1.5}{b}$；
4. 求解上述方程，得到旗杆高度$h = \frac{1.5 × a}{b}$（单位：米）。
此外也可利用三角函数方法（如已知太阳高度角$θ$，通过测角仪测量该角度，结合$\sinθ = \frac{h}{c}$（$c$为旗杆顶点到测量点的直线距离）计算，但该方法对八年级学生稍复杂，更推荐影子长度法。
【答案】
旗杆高度为$\boldsymbol{h = \frac{1.5a}{b}}$米（其中$a$为旗杆影长，$b$为1.5米标杆的影长）
【知识点】
相似三角形的应用、比例的实际应用
【点评】
该测量方法利用同一时刻物高与影长的比例关系，操作简便易懂，贴合八年级所学知识，适合在实际场景中完成旗杆高度的测量。
【难度系数】
0.7
选择一个晴朗的日子，在太阳可照射到旗杆顶部时开展测量：
1. 用卷尺测量同一时刻旗杆的影子长度，记为$a$（单位：米）；
2. 选取已知高度的物体（如1.5米的标杆），测量其同一时刻的影子长度，记为$b$（单位：米）；
3. 由于同一时刻物高与影长成比例，根据相似三角形原理，可得比例关系$\frac{h}{a} = \frac{1.5}{b}$；
4. 求解上述方程，得到旗杆高度$h = \frac{1.5 × a}{b}$（单位：米）。
此外也可利用三角函数方法（如已知太阳高度角$θ$，通过测角仪测量该角度，结合$\sinθ = \frac{h}{c}$（$c$为旗杆顶点到测量点的直线距离）计算，但该方法对八年级学生稍复杂，更推荐影子长度法。
【答案】
旗杆高度为$\boldsymbol{h = \frac{1.5a}{b}}$米（其中$a$为旗杆影长，$b$为1.5米标杆的影长）
【知识点】
相似三角形的应用、比例的实际应用
【点评】
该测量方法利用同一时刻物高与影长的比例关系，操作简便易懂，贴合八年级所学知识，适合在实际场景中完成旗杆高度的测量。
【难度系数】
0.7
【活动课题】测量学校旗杆的高度。
【测量工具】皮尺等。
【模型抽象】
【测量过程】线段$AB$表示学校旗杆，$AB$垂直地面于点$B$，如示意图①，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并用皮尺测出多出的一段绳子$BC$的长度；如示意图②，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点$D$处，用皮尺测出$BD$的长度。
【测量数据】
图①中$BC$的长度是$1\ \mathrm{m}$；
图②中$BD$的长度是$5.4\ \mathrm{m}$。
【问题解决】
(1) 根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆$AB$的高度；
(2) 该校礼仪队要求旗手在不少于$45\ \mathrm{s}$且不超过$50\ \mathrm{s}$的时间内将五星红旗从旗杆底部$B$处升至顶部$A$处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为$96\ \mathrm{cm}$，求五星红旗升起的平均速度的取值范围（计算结果精确到$0.01$）。
【测量工具】皮尺等。
【模型抽象】
【测量过程】线段$AB$表示学校旗杆，$AB$垂直地面于点$B$，如示意图①，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并用皮尺测出多出的一段绳子$BC$的长度；如示意图②，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点$D$处，用皮尺测出$BD$的长度。
【测量数据】
图①中$BC$的长度是$1\ \mathrm{m}$；
图②中$BD$的长度是$5.4\ \mathrm{m}$。
【问题解决】
(1) 根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆$AB$的高度；
(2) 该校礼仪队要求旗手在不少于$45\ \mathrm{s}$且不超过$50\ \mathrm{s}$的时间内将五星红旗从旗杆底部$B$处升至顶部$A$处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为$96\ \mathrm{cm}$，求五星红旗升起的平均速度的取值范围（计算结果精确到$0.01$）。
答案
解：(1)学校旗杆AB的高度为14.08m.
(2)五星红旗升起的平均速度不小于0.26m/s，且不大于0.29m/s.
(2)五星红旗升起的平均速度不小于0.26m/s，且不大于0.29m/s.
解析
【解析】
(1) 设旗杆$AB$的高度为$x\ \mathrm{m}$，则绳子的长度为$(x+1)\ \mathrm{m}$。
因为$AB⊥ BD$，所以$△ ABD$是直角三角形，根据勾股定理：
$AB^2 + BD^2 = AD^2$，即$x^2 + 5.4^2 = (x+1)^2$。
展开得：$x^2 + 29.16 = x^2 + 2x + 1$，
移项化简得：$2x = 28.16$，解得$x=14.08$。
(2) 统一单位：$96\ \mathrm{cm}=0.96\ \mathrm{m}$，
五星红旗需要上升的高度为$14.08 - 0.96 = 13.12\ \mathrm{m}$。
设平均速度为$v\ \mathrm{m/s}$，根据题意：
$\frac{13.12}{50} ≤ v ≤ \frac{13.12}{45}$，
计算得：$0.26 ≤ v ≤ 0.29$（结果精确到$0.01$）。
【答案】
(1) 学校旗杆$AB$的高度为$14.08\ \mathrm{m}$；
(2) 五星红旗升起的平均速度不小于$0.26\ \mathrm{m/s}$，且不大于$0.29\ \mathrm{m/s}$。
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程求解，速度公式应用
【点评】
本题结合实际测量场景，将几何、方程与速度计算融合，考查勾股定理的实际应用及取值范围的求解，体现数学建模思想。
【难度系数】
0.6
(1) 设旗杆$AB$的高度为$x\ \mathrm{m}$，则绳子的长度为$(x+1)\ \mathrm{m}$。
因为$AB⊥ BD$，所以$△ ABD$是直角三角形，根据勾股定理：
$AB^2 + BD^2 = AD^2$，即$x^2 + 5.4^2 = (x+1)^2$。
展开得：$x^2 + 29.16 = x^2 + 2x + 1$，
移项化简得：$2x = 28.16$，解得$x=14.08$。
(2) 统一单位：$96\ \mathrm{cm}=0.96\ \mathrm{m}$，
五星红旗需要上升的高度为$14.08 - 0.96 = 13.12\ \mathrm{m}$。
设平均速度为$v\ \mathrm{m/s}$，根据题意：
$\frac{13.12}{50} ≤ v ≤ \frac{13.12}{45}$，
计算得：$0.26 ≤ v ≤ 0.29$（结果精确到$0.01$）。
【答案】
(1) 学校旗杆$AB$的高度为$14.08\ \mathrm{m}$；
(2) 五星红旗升起的平均速度不小于$0.26\ \mathrm{m/s}$，且不大于$0.29\ \mathrm{m/s}$。
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程求解，速度公式应用
【点评】
本题结合实际测量场景，将几何、方程与速度计算融合，考查勾股定理的实际应用及取值范围的求解，体现数学建模思想。
【难度系数】
0.6
1. 如图，一块长为$80\ \mathrm{m}$，宽为$60\ \mathrm{m}$的长方形菜地$ABCD$，王大伯要从$A$处到$C$处，则沿$AC$比沿$AB \to BC$少走(
A.$20\ \mathrm{m}$
B.$30\ \mathrm{m}$
C.$40\ \mathrm{m}$
D.$50\ \mathrm{m}$
C
)A.$20\ \mathrm{m}$
B.$30\ \mathrm{m}$
C.$40\ \mathrm{m}$
D.$50\ \mathrm{m}$
答案
1. C
解析
【解析】
首先计算沿$AB \to BC$行走的路程：$AB + BC = 60 + 80 = 140\ \mathrm{m}$。
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$∠ B = 90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100\ \mathrm{m}$。
则沿$AC$比沿$AB \to BC$少走的路程为：$140 - 100 = 40\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、长方形的性质
【点评】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是先分别求出两条路径的长度，再计算路程差，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先计算沿$AB \to BC$行走的路程：$AB + BC = 60 + 80 = 140\ \mathrm{m}$。
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$∠ B = 90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100\ \mathrm{m}$。
则沿$AC$比沿$AB \to BC$少走的路程为：$140 - 100 = 40\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、长方形的性质
【点评】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是先分别求出两条路径的长度，再计算路程差，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$O$为数轴原点，在数轴上找到点$A$，使$OA = 4$，过点$A$作直线$l$垂直于$OA$，在$l$上取点$B$，使$AB = 1$，连接$OB$，以点$O$为圆心，$OB$长为半径作弧，与数轴的正半轴交于点$C$，则点$C$表示的实数是(
A.$\sqrt{15}$
B.$\sqrt{17}$
C.$6$
D.$17$
B
)A.$\sqrt{15}$
B.$\sqrt{17}$
C.$6$
D.$17$
答案
2. B
解析
【解析】
在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=4，AB=1，
根据勾股定理可得：
OB = √(OA² + AB²) = √(4² + 1²) = √17，
因为OC与OB都是圆的半径，所以OC=OB=√17，
又因为点C在数轴的正半轴上，所以点C表示的实数是√17。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实数与数轴
【点评】
本题通过构造直角三角形，利用勾股定理求出线段长度，进而将无理数在数轴上表示出来，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=4，AB=1，
根据勾股定理可得：
OB = √(OA² + AB²) = √(4² + 1²) = √17，
因为OC与OB都是圆的半径，所以OC=OB=√17，
又因为点C在数轴的正半轴上，所以点C表示的实数是√17。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实数与数轴
【点评】
本题通过构造直角三角形，利用勾股定理求出线段长度，进而将无理数在数轴上表示出来，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
