25. (10 分)如图所示的“杨辉三角”告诉我们二项式乘方展开式的系数规律：第三行的三个数 $ (1,2,1) $ 恰好对应着 $ (a + b)^{2} $ 的展开式 $ a^{2}+2ab + b^{2} $ 的系数；第四行的四个数 $ (1,3,3,1) $ 恰好对应着 $ (a + b)^{3} $ 的展开式 $ a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3} $ 的系数……根据图中前五行的数字所反映的规律，解答下列问题：
(1)图中第六行括号里的数字分别是(按从左到右的顺序填写).
(2)填空：$ (a + b)^{4}= $.
(3)利用上述的规律计算：$ ( \frac{2}{3} )^{4}-4 × ( \frac{2}{3} )^{3}+6 × ( \frac{2}{3} )^{2}-4 × ( \frac{2}{3} )+1 $.

25. （1）5，10，10，5 （2）$a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}$ （3）由题意得，$a = \frac{2}{3}$，$b = -1$，所以原式$=(\frac{2}{3})^{4} + 4 × (\frac{2}{3})^{3} × (-1) + 6 × (\frac{2}{3})^{2} × (-1)^{2} + 4 × (\frac{2}{3}) × (-1)^{3} + (-1)^{4} = (\frac{2}{3} - 1)^{4} = \frac{1}{81}$

26. （12 分）定义：对于依次排列的多项式 $ x + a $，$ x + b $，$ x + c $，$ x + d $（$ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 是常数），当它们满足 $ (x + a)(x + d)-(x + b)(x + c)=M $，且 $ M $ 为常数时，则称 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 是一组平衡数，$ M $ 是该组平衡数的平衡因子. 如对于多项式 $ x + 2 $，$ x + 1 $，$ x + 6 $，$ x + 5 $，因为 $ (x + 2)(x + 5)-(x + 1)(x + 6)=(x^{2}+7x + 10)-(x^{2}+7x + 6)=4 $，所以 2，1，6，5 是一组平衡数，4 是该组平衡数的平衡因子.
（1）已知 2，4，7，9 是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子 $ M $.
（2）若 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 是一组平衡数，$ a = 4 $，$ d = 3 $，请写出一组 $ b $，$ c $ 的值.
（3）当 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由.

26. （1）$M = (x + 2)(x + 9) - (x + 4)(x + 7) = (x^{2} + 11x + 18) - (x^{2} + 11x + 28) = -10$ （2）由题意，得$M = (x + 4)(x + 3) - (x + b)(x + c) = (x^{2} + 7x + 12) - [x^{2} + (b + c)x + bc] = (7 - b - c)x + 12 - bc$，因为$M$，$b$，$c$是常数，所以$7 - b - c = 0$，即$b + c = 7$，所以$b$，$c$的值可以是$b = 1$，$c = 6$。（答案不唯一，满足$b + c = 7$即可） （3）$M = (x + a)(x + d) - (x + b)(x + c) = [x^{2} + (a + d)x + ad] - [x^{2} + (b + c)x + bc] = (a + d - b - c)x + ad - bc$，因为$a$，$b$，$c$，$d$都是常数，所以当$a + d - b - c = 0$时，$M$是常数，即当$a + d = b + c$时，$a$，$b$，$c$，$d$是一组平衡数

27. (12 分)知识背景：任意一条过中心对称图形的对称中心的直线都将其分成面积相等的两个部分.
(1)如图①，直线 $ m $ 经过平行四边形 $ ABCD $ 的两条对角线的交点 $ O $，则 $ S_{\mathrm{四边形}AEFB} \_\_\_\_\_\_ S_{\mathrm{四边形}DEFC} $；(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
(2)两个大小不等的正方形按图②摆放，$ O $ 为小正方形的两条对角线的交点，求作一条过点 $ O $ 的直线，使整个图形分成面积相等的两部分；
(3)十个大小相同的正方形按图③摆放，求作一条直线，使整个图形分成面积相等的两部分.

27. （1）$=$ （2）如图① （3）如图②