1. 下列二次根式中，可以与$\sqrt{3}$合并的是()

A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\sqrt{24}$
D.$\sqrt{0.3}$

B

将各选项化为最简二次根式：
A.$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式；
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，与$\sqrt{3}$是同类二次根式；
C.$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式；
D.$\sqrt{0.3}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式。
可与$\sqrt{3}$合并的是选项B。

2. 下列计算中，正确的是()

A.$\sqrt{8}-\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{4}+\sqrt{6}=\sqrt{10}$
C.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2$
D.$\sqrt{12}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$

D

A. 对于 $\sqrt{8}-\sqrt{3}$，由于 $\sqrt{8}$ 和 $\sqrt{3}$ 不是同类二次根式，因此不能合并。所以 A 选项错误。
B. 对于 $\sqrt{4}+\sqrt{6}$，$\sqrt{4} = 2$，但 $2$ 和 $\sqrt{6}$ 不是同类二次根式，因此不能合并。所以 B 选项错误。
C. 对于 $3\sqrt{2}-\sqrt{2}$，由于 $3\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$ 是同类二次根式，可以合并为 $2\sqrt{2}$，不等于2。所以 C 选项错误。
D. 对于 $\sqrt{12}+\sqrt{3}$，首先化简 $\sqrt{12}$ 为 $2\sqrt{3}$，然后 $2\sqrt{3}+\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$。所以 D 选项正确。

3. 计算$4\sqrt{\dfrac{1}{2}}+3\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{8}$的结果是()

A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$

C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

B

首先，化简各个根式：
$4\sqrt{\frac{1}{2}} = 4 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$，
$3\sqrt{\frac{1}{3}} = 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$，
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，
将这些化简后的根式代入原式：
$4\sqrt{\frac{1}{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{8} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2} = \sqrt{3}$。

4. 若一个长方形的周长为$\sqrt{200}$，其中一边长为$\sqrt{18}$，则与其相邻的另一边的长为()

A.$10 - 2\sqrt{2}$
B.$7\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{5}$

C

长方形周长=2×(长+宽)，已知周长为√200=10√2，一边长为√18=3√2，设相邻边长为x，则2×(3√2 + x)=10√2，解得x=2√2。

5. 计算：$\sqrt{3}+\sqrt{27}=$；$\sqrt{\dfrac{1}{12}}-\sqrt{\dfrac{1}{27}}=$.

第一题：
$\sqrt{3} + \sqrt{27}$
$=\sqrt{3} + \sqrt{9 × 3}$
$=\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$
$= 4\sqrt{3}$
第二题：
$\sqrt{\frac{1}{12}} - \sqrt{\frac{1}{27}}$
$=\frac{1}{\sqrt{12}} - \frac{1}{\sqrt{27}}$
$=\frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}}$
$=\frac{3}{6\sqrt{3}} - \frac{2}{6\sqrt{3}}$
$=\frac{1}{6\sqrt{3}}$
$=\frac{\sqrt{3}}{18}$

6. 计算：$\sqrt{a}+\sqrt{4a}$($a≥0$)$=$；$\dfrac{2\sqrt{9x}}{3}-6\sqrt{\dfrac{x}{4}}$($x≥0$)$=$.

$3\sqrt{a}$；$-\sqrt{x}$

第一问：$\sqrt{a} + \sqrt{4a}$（$a ≥ 0$）
解：
$\sqrt{4a} = \sqrt{4 · a} = \sqrt{4} · \sqrt{a} = 2\sqrt{a}$
$\sqrt{a} + \sqrt{4a} = \sqrt{a} + 2\sqrt{a} = (1 + 2)\sqrt{a} = 3\sqrt{a}$
第二问：$\dfrac{2\sqrt{9x}}{3} - 6\sqrt{\dfrac{x}{4}}$（$x ≥ 0$）
解：
$\sqrt{9x} = \sqrt{9} · \sqrt{x} = 3\sqrt{x}$，则 $\dfrac{2\sqrt{9x}}{3} = \dfrac{2 · 3\sqrt{x}}{3} = 2\sqrt{x}$
$\sqrt{\dfrac{x}{4}} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{x}}{2}$，则 $6\sqrt{\dfrac{x}{4}} = 6 · \dfrac{\sqrt{x}}{2} = 3\sqrt{x}$
$\dfrac{2\sqrt{9x}}{3} - 6\sqrt{\dfrac{x}{4}} = 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = (2 - 3)\sqrt{x} = -\sqrt{x}$