对角线的四边形是平行四边形。

互相平分

1. 在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是()。

A.$AB// DC$，$AD// BC$
B.$AB = DC$，$AD = BC$
C.$AO = CO$，$BO = DO$
D.$AB// DC$，$AD = BC$

D

A选项：根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以A选项能判定这个四边形是平行四边形；
B选项：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，所以$AB = DC$，$AD = BC$能判定这个四边形是平行四边形；
C选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，因为$AO = CO$，$BO = DO$，即四边形$ABCD$的对角线互相平分，所以能判定这个四边形是平行四边形；
D选项：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，$AB// DC$，$AD = BC$，但等腰梯形不是平行四边形，所以D选项不能判定这个四边形是平行四边形。

2. 小明的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了下面的方法。

方法一：如图①，将两根木条 $AC$，$BD$ 的中点重叠，并用钉子固定，则四边形 $ABCD$ 就是平行四边形。这样做的依据是。
方法二：如图②，将两根同样长的木条 $AB$，$CD$ 平行放置，再用木条 $AD$，$BC$ 固定，则四边形 $ABCD$ 就是平行四边形。这样做的依据是。
方法三：如图③，用两根长 $40cm$ 的木条 $AD$，$BC$ 和两根长 $30cm$ 的木条 $AB$，$CD$ 作为四边形的四条边，并把相等的木条作为相对的边用钉子固定，则四边形 $ABCD$ 就是平行四边形。这样做的依据是。

对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3. 如图，已知 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$AC// DB$，$AO = BO$，$E$，$F$ 分别是 $OC$，$OD$ 的中点。求证：
(1) $△ AOC≌△ BOD$；
(2) 四边形 $AFBE$ 是平行四边形。

(1) 证明：
∵ $AC // DB$，
∴ $∠ ACO = ∠ BDO$，$∠ CAO = ∠ DBO$。
在 $△ AOC$ 和 $△ BOD$ 中，
$\begin{cases} ∠ CAO = ∠ DBO, \\AO = BO, \\∠ AOC = ∠ BOD, \end{cases}$
∴ $△ AOC ≌ △ BOD(ASA)$。
(2) 证明：
由 (1) 得 $△ AOC ≌ △ BOD$，
∴ $OC = OD$。
∵ $E$，$F$ 分别是 $OC$，$OD$ 的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OC$，$OF = \frac{1}{2}OD$，
∴ $OE = OF$。
又∵ $AO = BO$，
∴ 四边形 $AFBE$ 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。