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4. 在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，给出下列四个条件：① $AD// BC$；② $AD = BC$；③ $OA = OC$；④ $OB = OD$。从中任选两个条件，能使四边形 $ABCD$ 为平行四边形的选法有()。
A.$3$ 种
B.$4$ 种
C.$5$ 种
D.$6$ 种
A.$3$ 种
B.$4$ 种
C.$5$ 种
D.$6$ 种
答案
B
解析
从四个条件中任选两个，共有6种组合：①②、①③、①④、②③、②④、③④。
①②：一组对边平行且相等（AD//BC且AD=BC），可判定平行四边形；
①③：AD//BC得∠OAD=∠OCB，结合OA=OC、∠AOD=∠COB，证△AOD≌△COB得AD=BC，进而一组对边平行且相等，可判定；
①④：AD//BC得∠ADO=∠CBO，结合OB=OD、∠AOD=∠COB，证△AOD≌△COB得AD=BC，进而一组对边平行且相等，可判定；
②③：AD=BC、OA=OC，无法证平行或全等，不可判定；
②④：AD=BC、OB=OD，无法证平行或全等，不可判定；
③④：对角线互相平分（OA=OC且OB=OD），可判定平行四边形。
有效组合共4种。
①②：一组对边平行且相等（AD//BC且AD=BC），可判定平行四边形；
①③：AD//BC得∠OAD=∠OCB，结合OA=OC、∠AOD=∠COB，证△AOD≌△COB得AD=BC，进而一组对边平行且相等，可判定；
①④：AD//BC得∠ADO=∠CBO，结合OB=OD、∠AOD=∠COB，证△AOD≌△COB得AD=BC，进而一组对边平行且相等，可判定；
②③：AD=BC、OA=OC，无法证平行或全等，不可判定；
②④：AD=BC、OB=OD，无法证平行或全等，不可判定；
③④：对角线互相平分（OA=OC且OB=OD），可判定平行四边形。
有效组合共4种。
5. 【综合与实践】如图①，在 $△ ABC$ 中，$D$ 是 $AC$ 边上一点。求作：四边形 $ABFD$，使得四边形 $ABFD$ 是平行四边形。
下面是用尺规作图的两种方法。
(1) 方法一的依据为；
(2) 请在方法二中，以“对角线互相平分的四边形为平行四边形”为依据，作平行四边形 $ABFD$。(不写作法，保留作图痕迹)
下面是用尺规作图的两种方法。
(1) 方法一的依据为；
(2) 请在方法二中，以“对角线互相平分的四边形为平行四边形”为依据，作平行四边形 $ABFD$。(不写作法，保留作图痕迹)
答案
(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2) 作图步骤：连接 BD，作线段 BD 的垂直平分线，找到 BD 中点 O；连接 AO 并延长，在延长线上截取 OF=AO，连接 BF、FD，四边形 ABFD 即为所求（作图痕迹包含 BD 的垂直平分线、中点 O、AO 延长线及点 F）。
（注：第二问需在图③中保留上述作图痕迹，此处文字描述作图过程）
(2) 作图步骤：连接 BD，作线段 BD 的垂直平分线，找到 BD 中点 O；连接 AO 并延长，在延长线上截取 OF=AO，连接 BF、FD，四边形 ABFD 即为所求（作图痕迹包含 BD 的垂直平分线、中点 O、AO 延长线及点 F）。
（注：第二问需在图③中保留上述作图痕迹，此处文字描述作图过程）
