重难点1 二元一次方程
【典例1】下列方程是二元一次方程的是（C）
A. $x^{2}+2y = 8$
B. $x - 1 = 3$
C. $3x - y = 0$
D. $x - \frac{1}{y}=6$
解析：A. $x^{2}+2y = 8$含有未知数的项的最高次数为2，不符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意；B. $x - 1 = 3$只含有1个未知数，不符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意；C. $3x - y = 0$符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意；D. $x - \frac{1}{y}=6$不是整式方程，所以不是二元一次方程，故此选项不符合题意。故选C。

C

A选项中方程含有未知数的项的最高次数为2，不符合二元一次方程的定义；B选项中方程只含有1个未知数，不符合二元一次方程的定义；C选项中方程符合二元一次方程的定义；D选项中方程不是整式方程，不符合二元一次方程的定义。所以选C。

【对点训练】
1. 下列四个方程中是二元一次方程的是()
A. $x+\frac{1}{y}=2$
B. $2x - 3y = 1$
C. $\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$
D. $xy = 8$

B

根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
A选项：$x+\frac{1}{y}=2$，分母含有未知数$y$，不是整式方程，不符合定义。
B选项：$2x - 3y = 1$，含有两个未知数$x$和$y$，且各项次数都是1，是二元一次方程，符合定义。
C选项：$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$，这是一个方程组，不是单个方程，不符合定义。
D选项：$xy = 8$，$xy$这一项的次数是2，不符合定义。

重难点2 二元一次方程的解
【典例2】下列各组数值中是方程$x + 2y = 5$的解的是（A）
A. $\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$
B. $\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$
C. $\begin{cases}x = - 3,\\y = - 1\end{cases}$
D. $\begin{cases}x = 5,\\y = 1\end{cases}$
解析：A. 把$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$代入方程$x + 2y = 5$的左边，左边$=1 + 4 = 5$，右边$=5$，左边$=$右边，所以$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$是方程$x + 2y = 5$的解，故此选项符合题意；B. 把$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$代入方程$x + 2y = 5$的左边，左边$=2 + 2 = 4$，右边$=5$，左边$≠$右边，所以$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$不是方程$x + 2y = 5$的解，故此选项不符合题意；C. 把$\begin{cases}x = - 3,\\y = - 1\end{cases}$代入方程$x + 2y = 5$的左边，左边$=-3 - 2 = - 5$，右边$=5$，左边$≠$右边，所以$\begin{cases}x = - 3,\\y = - 1\end{cases}$不是方程$x + 2y = 5$的解，故此选项不符合题意；D. 把$\begin{cases}x = 5,\\y = 1\end{cases}$代入方程$x + 2y = 5$的左边，左边$=5 + 2 = 7$，右边$=5$，左边$≠$右边，所以$\begin{cases}x = 5,\\y = 1\end{cases}$不是方程$x + 2y = 5$的解，故此选项不符合题意；故选A。

A

将各选项中的$x$和$y$的值代入方程$x + 2y$中，判断左边是否等于5：
A.当$x=1,y=2$时，$x+2y=1+2×2=5$，等式成立，是方程的解。
B.当$x=2,y=1$时，$x+2y=2+2×1=4≠5$，等式不成立，不是方程的解。
C.当$x=-3,y=-1$时，$x+2y=-3+2×(-1)=-5≠5$，等式不成立，不是方程的解。
D.当$x=5,y=1$时，$x+2y=5+2×1=7≠5$，等式不成立，不是方程的解。