登录
【对点训练】
2. 如图，在菱形ABCD中，AC = 8，BD = 6。E是CD边上一动点，过点E分别作EF ⊥ OC于点F，EG ⊥ OD于点G，连结FG，则FG的最小值为()
A.2.4
B.3
C.4.8
D.4
2. 如图，在菱形ABCD中，AC = 8，BD = 6。E是CD边上一动点，过点E分别作EF ⊥ OC于点F，EG ⊥ OD于点G，连结FG，则FG的最小值为()
A.2.4
B.3
C.4.8
D.4
答案
A
解析
∵菱形ABCD中，AC=8，BD=6，∴AC⊥BD，O为AC、BD中点，OC=4，OD=3。
∵EF⊥OC，EG⊥OD，∠COD=90°，∴四边形OGEF为矩形，∴FG=OE。
要使FG最小，即求OE最小值。E在CD上，OE最小值为点O到CD的距离。
在Rt△COD中，CD=√(OC²+OD²)=√(4²+3²)=5。
S△COD=1/2×OC×OD=1/2×4×3=6，又S△COD=1/2×CD×OE，∴1/2×5×OE=6，解得OE=12/5=2.4。
∴FG最小值为2.4。
∵EF⊥OC，EG⊥OD，∠COD=90°，∴四边形OGEF为矩形，∴FG=OE。
要使FG最小，即求OE最小值。E在CD上，OE最小值为点O到CD的距离。
在Rt△COD中，CD=√(OC²+OD²)=√(4²+3²)=5。
S△COD=1/2×OC×OD=1/2×4×3=6，又S△COD=1/2×CD×OE，∴1/2×5×OE=6，解得OE=12/5=2.4。
∴FG最小值为2.4。
1. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()
A.邻边相等
B.对边相等
C.对角相等
D.是中心对称图形
A.邻边相等
B.对边相等
C.对角相等
D.是中心对称图形
答案
A
解析
菱形的定义是四边相等的平行四边形，因此它的邻边一定相等。而平行四边形只是要求对边相等，邻边不一定相等。所以邻边相等是菱形具有而平行四边形不一定具有的性质。对边相等、对角相等、是中心对称图形这些性质都是平行四边形和菱形都具有的。
2. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是()
A.18
B.20
C.24
D.40
A.18
B.20
C.24
D.40
答案
B
解析
由菱形的性质知，菱形的对角线互相垂直平分，
$\because $对角线$AC=6$，$BD=8$,
$\therefore $角线的一半分别为$AO=OC=3$，$BO=OD=4$,
在$Rt\bigtriangleup AOB$中，
$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,
$\because $菱形的四条边长度都相等，
$\therefore $菱形的周长为$4×5=20$。
$\because $对角线$AC=6$，$BD=8$,
$\therefore $角线的一半分别为$AO=OC=3$，$BO=OD=4$,
在$Rt\bigtriangleup AOB$中，
$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,
$\because $菱形的四条边长度都相等，
$\therefore $菱形的周长为$4×5=20$。
3. 如图，一块三角板放在一张菱形纸片上，斜边与菱形的一边平行，则∠1的度数是()
A.45°
B.50°
C.60°
D.75°
A.45°
B.50°
C.60°
D.75°
答案
C
解析
由题意，三角板为含30°、60°的直角三角板，斜边与菱形一边平行。菱形对边平行，根据平行线性质，三角板60°角的一边（斜边）与菱形边平行，内错角相等，故∠1=60°。
4. 已知在菱形ABCD中，AC = 8，BD = 12，则菱形ABCD的面积为()
A.72
B.24
C.48
D.96
A.72
B.24
C.48
D.96
答案
C
解析
菱形的面积等于对角线乘积的一半，已知菱形$ABCD$中$AC = 8$，$BD = 12$，则其面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×8×12 = 48$。
5. 如图，在菱形ABCD中，DE ⊥ AB，垂足为E，$\frac{DE}{AE} = \frac{3}{4}$，BE = 1，F是BC的中点。现有下列四个结论：① DE = 3；② 四边形DEBC的面积等于9；③ (AC + BD)·(AC - BD)= 80；④ DF = DE。其中正确结论的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
设AE=4x，DE=3x，菱形边长AD=AB=4x+1。在Rt△ADE中，由勾股定理得(4x+1)²=(4x)²+(3x)²，解得x=1。则AE=4，DE=3，AB=5，①正确。菱形面积=AB×DE=15，△ADE面积=6，四边形DEBC面积=15-6=9，②正确。设对角线AC=2m，BD=2n，由菱形性质得m²+n²=25，2mn=15（面积），(AC+BD)(AC-BD)=AC²-BD²=4(m²-n²)=4[(m²+n²)-2n²]=4(25-2n²)，结合mn=7.5，解得AC²-BD²=80，③正确。F为BC中点，坐标法得D(0,3)，F(3,1.5)，DF=√(3²+1.5²)=3√5/2≠3，④错误。正确结论①②③，共3个。
