1. 有一组相等的平行四边形是菱形。
2. 菱形的四条边。
3. 菱形的对角线，并且每一条对角线平分。

1. 邻边；2. 相等；3. 互相垂直平分，一组对角

1. 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以第一个空填邻边。
2. 菱形的性质为四条边都相等，所以第二个空填相等。
3. 菱形的性质还包括对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角，所以第三、四个空分别填互相垂直平分，一组对角。

【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠B = 60°，E、F分别是CB、CD上两点，连结AE、AF、EF，且∠EAF = 60°。若∠BAE = α，则下列说法错误的是()


A.∠CEF = α
B.∠FAD = 60° - α
C.∠EFC = 60° - α
D.∠AFD = 90° - α
解析：连结AC，如图。

∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠B = ∠D，∠BAD = ∠BCD，AB = BC，AB // CD，
∴ ∠B + ∠BCD = 180°。
∵ ∠B = 60°，∴ △ABC是等边三角形，∠D = 60°，∠BCD = ∠BAD = 120°，
∴ ∠BAC = ∠ACB = 60°，AB = AC，
∴ ∠ACF = ∠B = ∠CAD = 60°。
∵ ∠EAF = 60°，
∴ ∠BAC - ∠CAE = ∠EAF - ∠CAE，
∴ ∠BAE = ∠CAF = α，
∴ △ABE ≌ △ACF(ASA)，∠FAD = 60° - α，
∴ AE = AF。
∵ ∠EAF = 60°，
∴ △AEF是等边三角形，∴ ∠AFE = 60°，
∵ ∠AFC = ∠FAD + ∠D，
∴ ∠EFC = ∠FAD = 60° - α，
∴ ∠CEF = α，不能证出∠AFD = 90° - α。

D

连结AC。∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠BAD=120°，∠BAC=∠CAD=60°，AB=AC。∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF=α（∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE）。∴△ABE≌△ACF（ASA），∠FAD=∠CAD-∠CAF=60°-α（B正确）。AE=AF，△AEF是等边三角形，∠AFE=60°。∠AFC=∠FAD+∠D=（60°-α）+60°=120°-α，∠EFC=∠AFC-∠AFE=60°-α（C正确）。在△CEF中，∠C=120°，∠EFC=60°-α，∴∠CEF=180°-120°-（60°-α）=α（A正确）。∠AFD=180°-∠D-∠FAD=180°-60°-（60°-α）=60°+α≠90°-α（D错误）。

【对点训练】
1. 如图，在菱形ABCD中，E是对角线BD上的点，且DE = DC，O为BD的中点，连结CE、CO。若∠ABC = 80°，则∠OCE的度数为()


A.16°
B.20°
C.24°
D.28°

B

在菱形ABCD中，∠ABC=80°，则∠BCD=180°-80°=100°（菱形邻角互补）。BD为对角线，平分∠ABC和∠ADC，故∠CDB=∠ABC/2=40°。
DE=DC，菱形四边相等，即DC=BC，所以DE=DC，△DEC为等腰三角形，∠DCE=∠DEC。在△DEC中，∠CDE=∠CDB=40°，则∠DCE=(180°-40°)/2=70°。
O为BD中点，菱形对角线互相垂直，AC⊥BD，∠COD=90°。在Rt△COD中，∠CDO=40°，则∠OCD=90°-40°=50°。
∠OCE=∠DCE-∠OCD=70°-50°=20°。

【典例2】如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC = 8，BD = 6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM ⊥ AD于点M，作PN ⊥ DC于点N，则PM + PN的值为()


A.$\frac{48}{5}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{2}{3}$
解析：如图，连结PD。

∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC与BD互相垂直平分，
∴ AO = CO = $\frac{1}{2}$AC = 4，BO = DO = $\frac{1}{2}$BD = 3，∠AOD = ∠COD = 90°，
∴ AD = CD = $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ = 5。
∵ $S_{△ACD} = S_{△APD} + S_{△CPD}$，PM ⊥ AD，PN ⊥ CD，
∴ $\frac{1}{2}$AC · OD = $\frac{1}{2}$AD · PM + $\frac{1}{2}$CD · PN，
∴ 8 × 3 = 5(PM + PN)，
∴ PM + PN = $\frac{24}{5}$。

C

连接 $PD$。
由于四边形 $ABCD$ 是菱形，因此 $AC$ 与 $BD$ 互相垂直平分。
$AO = CO = \frac{1}{2}AC = 4, \quad BO = DO = \frac{1}{2}BD = 3$，
$∠ AOD = ∠ COD = 90°$，
$AD = CD = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，
由于 $S_{△ ACD} = S_{△ APD} + S_{△ CPD}$，且 $PM ⊥ AD$，$PN ⊥ CD$，
因此，$\frac{1}{2} × AC × OD = \frac{1}{2} × AD × PM + \frac{1}{2} × CD × PN$，
代入数值，得到：
$\frac{1}{2} × 8 × 3 = \frac{1}{2} × 5 × (PM + PN)$，
$24 = 5(PM + PN)$，
$PM + PN = \frac{24}{5}$。