8. 如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，连结BE，BE、CD的延长线相交于点F，连结AF、BD.
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若∠BEA+2∠C=180°，求证：四边形ABDF是矩形。

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，即AB//CF，∴∠ABE=∠DFE。
∵E是AD中点，∴AE=DE。
在△ABE和△DFE中，
∠ABE=∠DFE，∠AEB=∠DEF（对顶角相等），AE=DE，
∴△ABE≌△DFE（AAS），∴AB=DF。
又∵AB//DF，∴四边形ABDF是平行四边形。
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠BAD，设∠C=∠BAD=α。
∵∠BEA+2∠C=180°，∴∠BEA=180°-2α。
在△ABE中，∠BAE+∠ABE+∠BEA=180°，即α+∠ABE+(180°-2α)=180°，解得∠ABE=α。
∴∠ABE=∠BAE=α，∴AB=BE（等角对等边）。
由（1）知△ABE≌△DFE，∴BE=EF，∴BF=BE+EF=2BE=2AB。
∵E是AD中点，∴AD=2AE。
∵∠ABE=∠BAE=α，∠BEA=180°-2α，若AB=AE，则∠ABE=∠BEA，即α=180°-2α，解得α=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB，∴AD=2AE=2AB。
∴AD=BF。
∵四边形ABDF是平行四边形，且AD=BF，∴四边形ABDF是矩形。

9.（推理能力）如图1，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M、N为垂足.
（1）求证：AM=CN；
（2）如图2，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E、F，使BE=DF，连结AE、AF、CF、CE，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并加以证明.

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，∴∠ADM=∠CBN。
∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠AMD=∠CNB=90°。
在△AMD和△CNB中，
$\{\begin{array}{l} ∠ADM=∠CBN \\ ∠AMD=∠CNB \\ AD=BC\end{array} $，
∴△AMD≌△CNB（AAS），∴AM=CN。
（2）当EF=AC时，四边形AECF是矩形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD。
∵BE=DF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF。
∴四边形AECF的对角线AC与EF互相平分，∴四边形AECF是平行四边形。
∵EF=AC，∴平行四边形AECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。