登录
6. 如图，在菱形ABCD中，∠B = 40°，点E在CD上，AE = AC，则∠BAE = 。
答案
110°
解析
在菱形ABCD中，∠B=40°，则∠BAD=180°-∠B=140°（菱形邻角互补）。
∵菱形对角线平分内角，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD=140°/2=70°。
又∠BCD=∠BAD=140°（菱形对角相等），AC平分∠BCD，∴∠ACD=140°/2=70°。
∵点E在CD上，AE=AC，∴△AEC为等腰三角形，∠ACE=∠AEC=70°。
∴∠CAE=180°-∠ACE-∠AEC=180°-70°-70°=40°。
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=70°+40°=110°。
∵菱形对角线平分内角，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD=140°/2=70°。
又∠BCD=∠BAD=140°（菱形对角相等），AC平分∠BCD，∴∠ACD=140°/2=70°。
∵点E在CD上，AE=AC，∴△AEC为等腰三角形，∠ACE=∠AEC=70°。
∴∠CAE=180°-∠ACE-∠AEC=180°-70°-70°=40°。
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=70°+40°=110°。
7. 如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，它们相交于点E，∠DBC = 60°，BD = 6，点F为BC的中点，则EF的长为。
答案
3
解析
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BE=BD/2=3（菱形对角线互相垂直平分）。
∵∠DBC=60°，∠BEC=90°，∴∠BCE=30°。
在Rt△BEC中，∠BCE=30°，∴BC=2BE=6（30°角所对直角边是斜边一半）。
∵F是BC中点，△BEC是直角三角形，∴EF=BC/2=3（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵∠DBC=60°，∠BEC=90°，∴∠BCE=30°。
在Rt△BEC中，∠BCE=30°，∴BC=2BE=6（30°角所对直角边是斜边一半）。
∵F是BC中点，△BEC是直角三角形，∴EF=BC/2=3（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
8. 如图，四边形ABCD是菱形，AC = 24，BD = 10，DH ⊥ AB于点H，则线段BH的长为。
答案
50/13
解析
∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，∴AC⊥BD，AO=12，BO=5。在Rt△AOB中，AB=√(AO²+BO²)=√(12²+5²)=13。菱形面积S=AC×BD/2=24×10/2=120，又S=AB×DH，∴DH=120/13。在Rt△DHB中，BH=√(BD²-DH²)=√(10²-(120/13)²)=√(100-14400/169)=√(2500/169)=50/13。
9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E。
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC = 8，BD = 6，求△ADE的周长。
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC = 8，BD = 6，求△ADE的周长。
答案
（1）见证明过程；（2）18。
解析
（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD。
∵DE⊥BD，
∴AC//DE（垂直于同一直线的两直线平行）。
∵E在BA延长线上，AB//CD，
∴AE//CD。
∴四边形ACDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
（2）解：
∵菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AO=AC/2=4，BO=BD/2=3，AC⊥BD。
在Rt△AOB中，AB=√(AO²+BO²)=√(4²+3²)=5。
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=5，CD=AB=5。
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8。
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=5+5+8=18。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD。
∵DE⊥BD，
∴AC//DE（垂直于同一直线的两直线平行）。
∵E在BA延长线上，AB//CD，
∴AE//CD。
∴四边形ACDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
（2）解：
∵菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AO=AC/2=4，BO=BD/2=3，AC⊥BD。
在Rt△AOB中，AB=√(AO²+BO²)=√(4²+3²)=5。
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=5，CD=AB=5。
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8。
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=5+5+8=18。
10. （推理能力）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 150°，AB = 4。
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）若P为对角线BD上一点，PM ⊥ BC，PN ⊥ CD交DC的延长线于点N，垂足分别为点M、N，求PM + PN。
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）若P为对角线BD上一点，PM ⊥ BC，PN ⊥ CD交DC的延长线于点N，垂足分别为点M、N，求PM + PN。
答案
（1）在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=150°，则∠ABC=180°-150°=30°。过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，AE=AB·sin∠ABC=4×sin30°=4×1/2=2。菱形面积=BC·AE=4×2=8。
（2）连接PC，菱形ABCD中，BC=CD=4，S△BCD=1/2S菱形ABCD=4。因为PM⊥BC，PN⊥CD，所以S△PBC=1/2·BC·PM，S△PCD=1/2·CD·PN。又P在BD上，故S△PBC+S△PCD=S△BCD，即1/2×4·PM + 1/2×4·PN=4，化简得2(PM+PN)=4，所以PM+PN=2。
（1）8；（2）2
（2）连接PC，菱形ABCD中，BC=CD=4，S△BCD=1/2S菱形ABCD=4。因为PM⊥BC，PN⊥CD，所以S△PBC=1/2·BC·PM，S△PCD=1/2·CD·PN。又P在BD上，故S△PBC+S△PCD=S△BCD，即1/2×4·PM + 1/2×4·PN=4，化简得2(PM+PN)=4，所以PM+PN=2。
（1）8；（2）2
