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7. 如图，$ l_1 // l_2 $，$ l_2 // l_3 $，若 $ ∠ 1 = 59° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为(
A.$ 118° $
B.$ 120° $
C.$ 121° $
D.$ 131° $
C
)A.$ 118° $
B.$ 120° $
C.$ 121° $
D.$ 131° $
答案
7. C
解析
【分析】
首先，根据平行公理的推论，由$l_1 // l_2$和$l_2 // l_3$可推导出$l_1 // l_3$；接着，利用平行线“同位角相等”的性质，找到与$∠1$相等的角，再结合邻补角的和为$180°$，即可计算出$∠2$的度数。解题时需先梳理直线的平行关系，再结合角的性质逐步推导。
【解析】
1. 推导直线平行关系：
因为$l_1 // l_2$，$l_2 // l_3$，根据平行公理的推论（平行于同一条直线的两条直线互相平行），可得$l_1 // l_3$。
2. 利用平行线性质找等角：
设$∠1$的同位角为$∠α$，由于$l_1 // l_3$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠α = ∠1 = 59°$。
3. 结合邻补角性质计算$∠2$：
因为$∠α$与$∠2$互为邻补角，所以$∠α + ∠2 = 180°$，代入$∠α=59°$，得：
$∠2 = 180° - 59° = 121°$。
【答案】
C
【知识点】
平行公理的推论，平行线的性质，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查平行公理的推论、平行线的性质及邻补角性质的综合应用，解题的关键是准确梳理直线间的平行关系，结合角的性质进行角度计算，难度不大，有助于巩固平行线相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
首先，根据平行公理的推论，由$l_1 // l_2$和$l_2 // l_3$可推导出$l_1 // l_3$；接着，利用平行线“同位角相等”的性质，找到与$∠1$相等的角，再结合邻补角的和为$180°$，即可计算出$∠2$的度数。解题时需先梳理直线的平行关系，再结合角的性质逐步推导。
【解析】
1. 推导直线平行关系：
因为$l_1 // l_2$，$l_2 // l_3$，根据平行公理的推论（平行于同一条直线的两条直线互相平行），可得$l_1 // l_3$。
2. 利用平行线性质找等角：
设$∠1$的同位角为$∠α$，由于$l_1 // l_3$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠α = ∠1 = 59°$。
3. 结合邻补角性质计算$∠2$：
因为$∠α$与$∠2$互为邻补角，所以$∠α + ∠2 = 180°$，代入$∠α=59°$，得：
$∠2 = 180° - 59° = 121°$。
【答案】
C
【知识点】
平行公理的推论，平行线的性质，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查平行公理的推论、平行线的性质及邻补角性质的综合应用，解题的关键是准确梳理直线间的平行关系，结合角的性质进行角度计算，难度不大，有助于巩固平行线相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
8. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得 $ ∠ 1 = 63° $，则 $ ∠ 2 = $(
A.$ 143° $
B.$ 147° $
C.$ 153° $
D.$ 157° $
C
)A.$ 143° $
B.$ 147° $
C.$ 153° $
D.$ 157° $
答案
8. C
解析
【分析】
首先观察图形，已知一对平行线和直角三角形，要求∠2的度数。我们可以先利用平行线的内错角相等，找到与∠1相等的角，再结合直角三角形的直角特性求出三角形的另一个锐角，最后根据平行线的同旁内角互补，计算出∠2的度数。具体思路：先通过平行线性质转化∠1得到三角形内的一个角，再用直角三角形的直角算出第三个角，最后利用平行线同旁内角互补求出∠2。
【解析】
设直角三角形中与∠1对应的内错角为∠α，
1. 根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠α = ∠1 = 63°；
2. 因为该三角形是直角三角形，所以三角形内另一个锐角为：90° - ∠α = 90° - 63° = 27°；
3. 再根据“两直线平行，同旁内角互补”，∠2与这个27°的角是同旁内角，因此：
∠2 = 180° - 27° = 153°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，直角三角形内角性质
【点评】
本题考查平行线性质与直角三角形性质的综合运用，解题的关键是通过平行线实现角的转化，将未知角与已知角建立联系，需要学生熟练掌握平行线的内错角、同旁内角相关性质，以及直角三角形的内角特点。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，已知一对平行线和直角三角形，要求∠2的度数。我们可以先利用平行线的内错角相等，找到与∠1相等的角，再结合直角三角形的直角特性求出三角形的另一个锐角，最后根据平行线的同旁内角互补，计算出∠2的度数。具体思路：先通过平行线性质转化∠1得到三角形内的一个角，再用直角三角形的直角算出第三个角，最后利用平行线同旁内角互补求出∠2。
【解析】
设直角三角形中与∠1对应的内错角为∠α，
1. 根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠α = ∠1 = 63°；
2. 因为该三角形是直角三角形，所以三角形内另一个锐角为：90° - ∠α = 90° - 63° = 27°；
3. 再根据“两直线平行，同旁内角互补”，∠2与这个27°的角是同旁内角，因此：
∠2 = 180° - 27° = 153°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，直角三角形内角性质
【点评】
本题考查平行线性质与直角三角形性质的综合运用，解题的关键是通过平行线实现角的转化，将未知角与已知角建立联系，需要学生熟练掌握平行线的内错角、同旁内角相关性质，以及直角三角形的内角特点。
【难度系数】
0.6
9. 如图，直线 $ a $，$ b $ 被直线 $ c $，$ d $ 所截，若 $ ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = 60° $，则 $ ∠ 4 $ 的大小是
120
度。答案
9. 120
解析
【分析】
首先根据已知条件∠1=∠3=60°，利用同位角相等可判定直线a//b；接着观察∠4与∠2的位置关系，它们是同旁内角，结合平行线“同旁内角互补”的性质，代入∠2的度数即可计算出∠4的大小。
【解析】
1. 判定直线平行：
因为∠1=∠3=60°（已知），根据“同位角相等，两直线平行”，可得$a// b$；
2. 利用平行线性质求角度：
因为$a// b$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以$∠ 4 + ∠ 2 = 180°$；
3. 代入计算：
已知$∠ 2=60°$，则$∠ 4 = 180° - 60° = 120°$。
【答案】
120
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题的关键是准确识别同位角、同旁内角，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，属于基础几何题。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件∠1=∠3=60°，利用同位角相等可判定直线a//b；接着观察∠4与∠2的位置关系，它们是同旁内角，结合平行线“同旁内角互补”的性质，代入∠2的度数即可计算出∠4的大小。
【解析】
1. 判定直线平行：
因为∠1=∠3=60°（已知），根据“同位角相等，两直线平行”，可得$a// b$；
2. 利用平行线性质求角度：
因为$a// b$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以$∠ 4 + ∠ 2 = 180°$；
3. 代入计算：
已知$∠ 2=60°$，则$∠ 4 = 180° - 60° = 120°$。
【答案】
120
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题的关键是准确识别同位角、同旁内角，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，属于基础几何题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，将一副直角三角尺摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边 $ AB // DF $，含 $ 45° $ 角的直角三角尺的直角顶点 $ E $ 在含 $ 30° $ 角的三角尺的斜边 $ AB $ 上，且点 $ F $ 在 $ CB $ 的延长线上。已知 $ ∠ A = 30° $，则 $ ∠ 1 $ 的度数是
45°
。答案
10. 45°
解析
【分析】
要计算∠1的度数，我们可以利用平行线的性质和直角三角尺的固定角度来推导：
1. 首先明确含45°角的直角三角尺的锐角为45°，即∠D=45°；
2. 已知AB//DF，根据平行线的内错角相等的性质，∠1与∠D是内错角，因此∠1=∠D；
3. 代入∠D的度数即可得到∠1的度数。
【解析】
因为AB//DF，根据平行线的内错角相等的性质，可得∠1=∠D。
又因为含45°角的直角三角尺中，∠D=45°，所以∠1=45°。
【答案】
45°
【知识点】
平行线的性质，直角三角尺角度特征
【点评】
本题主要考查平行线的性质与直角三角尺角度的综合应用，解题关键是准确识别图中的内错角，结合三角尺的固定角度进行计算，难度不大，需要熟练掌握平行线的基本性质。
【难度系数】
0.6
要计算∠1的度数，我们可以利用平行线的性质和直角三角尺的固定角度来推导：
1. 首先明确含45°角的直角三角尺的锐角为45°，即∠D=45°；
2. 已知AB//DF，根据平行线的内错角相等的性质，∠1与∠D是内错角，因此∠1=∠D；
3. 代入∠D的度数即可得到∠1的度数。
【解析】
因为AB//DF，根据平行线的内错角相等的性质，可得∠1=∠D。
又因为含45°角的直角三角尺中，∠D=45°，所以∠1=45°。
【答案】
45°
【知识点】
平行线的性质，直角三角尺角度特征
【点评】
本题主要考查平行线的性质与直角三角尺角度的综合应用，解题关键是准确识别图中的内错角，结合三角尺的固定角度进行计算，难度不大，需要熟练掌握平行线的基本性质。
【难度系数】
0.6
11. 如图，$ AB // CD $，$ ∠ 1 = ∠ 2 $，则 $ ∠ M $ 和 $ ∠ N $ 有怎样的数量关系？请说明理由。
答案
11. 解：∠M=∠N。
理由：因为AB//CD，所以∠BAE=∠AEC。
又因为∠1=∠2，
所以∠BAE−∠1=∠AEC−∠2，
即∠MAE=∠NEA。
所以AM//NE，所以∠M=∠N。
理由：因为AB//CD，所以∠BAE=∠AEC。
又因为∠1=∠2，
所以∠BAE−∠1=∠AEC−∠2，
即∠MAE=∠NEA。
所以AM//NE，所以∠M=∠N。
解析
【分析】
要探究∠M和∠N的数量关系，可按以下思路推导：首先利用平行线的性质，由AB//CD得到一组内错角相等；再结合已知∠1=∠2，通过等式性质得到另一组内错角相等，以此判定新的平行线；最后根据平行线的性质得出∠M和∠N的关系。
【解析】
解：$\boldsymbol{∠M=∠N}$，理由如下：
因为 $AB // CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $∠BAE=∠AEC$。
又因为 $∠1=∠2$，
根据等式的性质，两边同时减去相等的角，得 $∠BAE - ∠1 = ∠AEC - ∠2$，
即 $∠MAE=∠NEA$。
根据“内错角相等，两直线平行”，可判定 $AM // NE$。
再根据“两直线平行，内错角相等”，所以 $∠M=∠N$。
【答案】
$\boldsymbol{∠M=∠N}$
【知识点】
平行线的判定与性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题核心是通过角的等量关系推导直线平行，再利用直线平行得到角的关系，需要熟练掌握平行线的性质和判定定理，理清角与直线平行之间的逻辑联系。
【难度系数】
0.7
要探究∠M和∠N的数量关系，可按以下思路推导：首先利用平行线的性质，由AB//CD得到一组内错角相等；再结合已知∠1=∠2，通过等式性质得到另一组内错角相等，以此判定新的平行线；最后根据平行线的性质得出∠M和∠N的关系。
【解析】
解：$\boldsymbol{∠M=∠N}$，理由如下：
因为 $AB // CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $∠BAE=∠AEC$。
又因为 $∠1=∠2$，
根据等式的性质，两边同时减去相等的角，得 $∠BAE - ∠1 = ∠AEC - ∠2$，
即 $∠MAE=∠NEA$。
根据“内错角相等，两直线平行”，可判定 $AM // NE$。
再根据“两直线平行，内错角相等”，所以 $∠M=∠N$。
【答案】
$\boldsymbol{∠M=∠N}$
【知识点】
平行线的判定与性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题核心是通过角的等量关系推导直线平行，再利用直线平行得到角的关系，需要熟练掌握平行线的性质和判定定理，理清角与直线平行之间的逻辑联系。
【难度系数】
0.7
12. 下面给出的图形中只用平移就可以得到的是(
D
)答案
12. D
解析
【分析】
首先明确平移的定义：平移是指图形在平面内沿着某个方向移动，移动过程中图形的形状、大小、方向都不发生改变，仅位置发生变化。接下来逐个分析选项：
1. 选项A：左右两侧的阴影图形呈现轴对称特征，图形方向有镜像变化，无法通过平移得到；
2. 选项B：阴影部分的图形存在翻转情况，方向发生改变，不符合平移的特征；
3. 选项C：阴影图形的方向与位置变化不是平移导致的，存在翻转或轴对称变换，不符合平移定义；
4. 选项D：四个阴影菱形的形状、大小、方向完全一致，可通过将其中一个菱形沿不同方向平移得到其余三个，符合平移的特征。
【解析】
根据平移的核心性质：平移仅改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。
选项A：属于轴对称变换，不是平移；
选项B：阴影图形方向改变，属于翻转变换，不是平移；
选项C：阴影图形方向发生变化，不符合平移性质；
选项D：四个菱形可通过平移其中一个得到，满足平移的特征。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质
【点评】
本题主要考查对平移概念和性质的理解，需要区分平移与轴对称、翻转等图形变换的差异，解题关键是抓住平移“不改变图形形状、大小、方向，仅改变位置”的核心特征。
【难度系数】
0.6
首先明确平移的定义：平移是指图形在平面内沿着某个方向移动，移动过程中图形的形状、大小、方向都不发生改变，仅位置发生变化。接下来逐个分析选项：
1. 选项A：左右两侧的阴影图形呈现轴对称特征，图形方向有镜像变化，无法通过平移得到；
2. 选项B：阴影部分的图形存在翻转情况，方向发生改变，不符合平移的特征；
3. 选项C：阴影图形的方向与位置变化不是平移导致的，存在翻转或轴对称变换，不符合平移定义；
4. 选项D：四个阴影菱形的形状、大小、方向完全一致，可通过将其中一个菱形沿不同方向平移得到其余三个，符合平移的特征。
【解析】
根据平移的核心性质：平移仅改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。
选项A：属于轴对称变换，不是平移；
选项B：阴影图形方向改变，属于翻转变换，不是平移；
选项C：阴影图形方向发生变化，不符合平移性质；
选项D：四个菱形可通过平移其中一个得到，满足平移的特征。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质
【点评】
本题主要考查对平移概念和性质的理解，需要区分平移与轴对称、翻转等图形变换的差异，解题关键是抓住平移“不改变图形形状、大小、方向，仅改变位置”的核心特征。
【难度系数】
0.6
13. 如图，$ ∠ C = 90° $，将直角三角形 $ ABC $ 沿着射线 $ BC $ 的方向平移 $ 5 \mathrm{ cm} $，得到三角形 $ A'B'C' $。已知 $ BC = 3 \mathrm{ cm} $，$ AC = 4 \mathrm{ cm} $，求阴影部分的面积。
答案
13. 解：由平移的性质可知BB′=AA′=5 cm。
因为BC=3 cm，所以B′C=5−3=2(cm)。
又因为AC=4 cm，
所以阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$×(B′C+AA′)×AC=$\frac{1}{2}$×(2+5)×4=14(cm²)。
因为BC=3 cm，所以B′C=5−3=2(cm)。
又因为AC=4 cm，
所以阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$×(B′C+AA′)×AC=$\frac{1}{2}$×(2+5)×4=14(cm²)。
解析
【分析】
首先根据平移的性质，可知平移前后对应点的距离等于平移距离，即$BB' = AA' = 5\mathrm{cm}$。观察图形可发现阴影部分是梯形，需要先确定梯形的上底、下底和高：上底$B'C$可通过$BB'$减去$BC$求得，下底为$AA'$，高为$AC$的长度，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：由平移的性质可知，平移距离为$5\mathrm{cm}$，所以$BB' = AA' = 5\mathrm{cm}$。
已知$BC = 3\mathrm{cm}$，则$B'C = BB' - BC = 5 - 3 = 2(\mathrm{cm})$。
因为$AC = 4\mathrm{cm}$，阴影部分为梯形，上底为$B'C$，下底为$AA'$，高为$AC$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$（$a$、$b$为上、下底，$h$为高），可得：
阴影部分的面积为$\frac{1}{2} × (B'C + AA') × AC = \frac{1}{2} × (2 + 5) × 4 = 14(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\boldsymbol{14\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
平移的性质，梯形面积公式
【点评】
本题考查平移性质与梯形面积公式的综合应用，解题关键是利用平移性质确定梯形各边长度，将不规则阴影部分转化为规则梯形计算面积，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先根据平移的性质，可知平移前后对应点的距离等于平移距离，即$BB' = AA' = 5\mathrm{cm}$。观察图形可发现阴影部分是梯形，需要先确定梯形的上底、下底和高：上底$B'C$可通过$BB'$减去$BC$求得，下底为$AA'$，高为$AC$的长度，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：由平移的性质可知，平移距离为$5\mathrm{cm}$，所以$BB' = AA' = 5\mathrm{cm}$。
已知$BC = 3\mathrm{cm}$，则$B'C = BB' - BC = 5 - 3 = 2(\mathrm{cm})$。
因为$AC = 4\mathrm{cm}$，阴影部分为梯形，上底为$B'C$，下底为$AA'$，高为$AC$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$（$a$、$b$为上、下底，$h$为高），可得：
阴影部分的面积为$\frac{1}{2} × (B'C + AA') × AC = \frac{1}{2} × (2 + 5) × 4 = 14(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\boldsymbol{14\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
平移的性质，梯形面积公式
【点评】
本题考查平移性质与梯形面积公式的综合应用，解题关键是利用平移性质确定梯形各边长度，将不规则阴影部分转化为规则梯形计算面积，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
