1. 如图，直线 $ AB $，$ CD $，$ EF $ 相交于点 $ O $，如果 $ ∠ AOC = 30° $，$ EF ⊥ CD $，那么 $ ∠ AOF $ 的度数为()


A.$ 55° $
B.$ 60° $
C.$ 70° $
D.$ 120° $

1. B

【分析】
首先，根据题目中“$EF⊥CD$”的条件，利用垂直的定义可得出$∠COF=90°$。接着观察图形可知，$∠AOF$是$∠COF$与$∠AOC$的差，所以只需用$∠COF$的度数减去已知的$∠AOC$的度数，即可求出$∠AOF$的度数，进而选出正确选项。
【解析】
已知$EF⊥CD$，根据垂直的定义，可得$∠COF=90°$。
又因为$∠AOC=30°$，
所以$∠AOF=∠COF - ∠AOC=90° - 30°=60°$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查垂直的定义和角的和差运算，解题关键是准确识别图形中角的位置关系，结合已知条件进行简单的角度计算。
【难度系数】
0.8

2. 如图，直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ OE $ 把 $ ∠ BOD $ 分成两部分。
(1)图中 $ ∠ AOC $ 的对顶角为，$ ∠ BOE $ 的邻补角为。
(2)若 $ ∠ AOC = 80° $，且 $ ∠ BOE : ∠ EOD = 2 : 3 $，求 $ ∠ AOE $ 的度数。

2. 解：(1)图中∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE。
故答案为：∠BOD；∠AOE。
(2)由条件可知∠BOD=80°，
因为∠BOE：∠EOD=2：3且∠BOD=∠BOE+∠EOD，
所以∠BOE=$\frac{2}{5}$∠BOD=$\frac{2}{5}$×80°=32°。
所以∠AOE=180°−∠BOE=180°−32°=148°。

【分析】
(1) 解题思路：根据对顶角和邻补角的定义来找对应的角。对顶角是具有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角；邻补角是具有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，且和为180°的两个角。观察图形，直线AB、CD相交于O，∠AOC的两边OA、OC的反向延长线分别是OB、OD，所以它的对顶角是∠BOD；∠BOE的一条边是OB，反向延长线是OA，另一条边是OE，所以它的邻补角是∠AOE。
(2) 解题思路：首先利用对顶角相等的性质，得出∠BOD=∠AOC=80°；再根据∠BOE和∠EOD的比例关系，将∠BOD分成5份，∠BOE占其中的2份，计算出∠BOE的度数；最后根据邻补角的和为180°，用180°减去∠BOE的度数，即可得到∠AOE的度数。
【解析】
(1) 根据对顶角和邻补角的定义：
直线$AB$与$CD$相交于点$O$，$∠ AOC$的对顶角为$∠ BOD$；$∠ BOE$的邻补角为$∠ AOE$。
(2) 因为$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，根据对顶角相等，可得：
$∠ BOD = ∠ AOC = 80°$
已知$∠ BOE : ∠ EOD = 2 : 3$，且$∠ BOD = ∠ BOE + ∠ EOD$，则$∠ BOE$占$∠ BOD$的$\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，所以：
$∠ BOE = \frac{2}{5} × ∠ BOD = \frac{2}{5} × 80° = 32°$
又因为$∠ AOE$与$∠ BOE$是邻补角，根据邻补角的和为$180°$，可得：
$∠ AOE = 180° - ∠ BOE = 180° - 32° = 148°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ BOD}$；$\boldsymbol{∠ AOE}$
(2) $\boldsymbol{148°}$
【知识点】
对顶角与邻补角，角的比例计算
【点评】
本题主要考查对顶角、邻补角的定义及性质，同时涉及角的比例运算，属于基础题型，解题关键是熟练掌握对顶角相等、邻补角和为180°的性质，准确识别图形中的角的关系。
【难度系数】
0.8

3. 如图，下面说法错误的是()


A.$ ∠ 1 $ 和 $ ∠ 4 $ 是对顶角
B.$ ∠ 3 $ 和 $ ∠ 6 $ 是内错角
C.$ ∠ 2 $ 和 $ ∠ 5 $ 是同位角
D.$ ∠ 4 $ 和 $ ∠ 6 $ 是同旁内角

3. C

【分析】
要判断每个选项的正误，需结合对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义，逐一分析每个选项中的角是否符合对应角的特征：
1. 对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角；
2. 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角；
3. 内错角：两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且在被截两直线之间的角；
4. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之间的角。
【解析】
选项A：∠1和∠4有公共顶点，两边互为反向延长线，符合对顶角的定义，故A正确；
选项B：∠3和∠6是两条斜线被下方的水平线所截形成的角，它们在截线两侧，且在两条被截直线之间，符合内错角的定义，故B正确；
选项C：∠2的两边是左侧的两条射线，∠5的两边是右侧的斜线和水平线，这两个角的被截直线不是同一组，不符合同位角的定义，故C错误；
选项D：∠4和∠6是两条斜线被下方的水平线所截形成的角，它们在截线同侧，且在两条被截直线之间，符合同旁内角的定义，故D正确。
综上，说法错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
对顶角定义；同位角、内错角、同旁内角的识别
【点评】
本题考查各类角的定义与识别，解题关键是准确确定截线和被截直线，熟练掌握不同角的位置特征，避免混淆各类角的定义。
【难度系数】
0.8

4. 如图，下列四个图形中，$ ∠ 1 $ 和 $ ∠ 2 $ 不是同位角的是()

4. C

【分析】
要判断∠1和∠2是否为同位角，需依据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，叫做同位角。我们逐个分析选项：
1. 选项A：∠1和∠2是直线AB、CB被直线EF所截形成的角，在截线EF同旁，且在被截直线AB、CB同侧，符合同位角定义；
2. 选项B：∠1和∠2是直线AB、CD被直线EM所截形成的角，在截线EM同旁，且在被截直线AB、CD同侧，符合同位角定义；
3. 选项C：∠1和∠2没有共同的截线，不是由两条直线被第三条直线所截形成的角，不符合同位角定义；
4. 选项D：∠1和∠2是直线CD、EF被直线AB所截形成的角，在截线AB同旁，且在被截直线CD、EF同侧，符合同位角定义。
综上，只有选项C中的∠1和∠2不是同位角。
【解析】
根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角为同位角，对各选项分析如下：
选项A：∠1与∠2是直线AB、BC被直线EF所截得到的同位角，符合定义；
选项B：∠1与∠2是直线AB、CD被直线EM所截得到的同位角，符合定义；
选项C：∠1与∠2无共同截线，不满足“两条直线被第三条直线所截”的前提，不符合同位角定义；
选项D：∠1与∠2是直线CD、EF被直线AB所截得到的同位角，符合定义。
因此，∠1和∠2不是同位角的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
同位角的定义
【点评】
本题主要考查同位角的识别，解题关键是准确理解同位角的构成条件：必须是两条直线被第三条直线所截形成的角，且角的位置在截线同旁、被截线同侧。
【难度系数】
0.6

5. 下列图形中，由 $ ∠ 1 = ∠ 2 $ 能得到 $ AB // CD $ 的有()


A.$ 4 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 1 $ 个

5. C

【分析】
要判断由$∠1=∠2$能否得到$AB//CD$，需结合平行线的判定定理，分析每个图形中$∠1$和$∠2$的位置关系是否满足判定条件：
1. 第一个图形：EB和CF都垂直于BF，根据垂直于同一直线的两直线平行，可得$EB//CF$，进而推出$∠EBC=∠BCF$；结合$∠1=∠2$，可得到$∠ABC=∠BCD$，内错角相等，能推出$AB//CD$。
2. 第二个图形：$∠1$和$∠2$既不是同位角、内错角，也不是同旁内角，$∠1=∠2$无法推出$AB//CD$。
3. 第三个图形：$∠1$和$∠2$未被同一条截线所截，不属于平行线判定所需的角的关系，$∠1=∠2$不能推出$AB//CD$。
4. 第四个图形：$∠1$和$∠2$是同位角，当$∠1=∠2$时，根据同位角相等，两直线平行，可推出$AB//CD$。
综上，只有2个图形符合条件。
【解析】
对四个图形逐一分析：
1. 图1：
$\because EB⊥ BF$，$CF⊥ BF$，
$\therefore EB// CF$（垂直于同一直线的两条直线平行），
$\therefore ∠ EBC=∠ BCF$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1+∠ EBC=∠ 2+∠ BCF$，即$∠ ABC=∠ BCD$，
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。
2. 图2：
$∠1$与$∠2$的位置关系不满足平行线判定的角的条件，$∠ 1=∠ 2$无法推出$AB// CD$。
3. 图3：
$∠1$与$∠2$没有被同一条截线所截，不构成平行线判定的角的关系，$∠ 1=∠ 2$不能推出$AB// CD$。
4. 图4：
$\because ∠ 1=∠ 2$，且$∠1$与$∠2$是同位角，
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行）。
因此，符合条件的图形有2个。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；垂直的性质
【点评】
本题核心考查平行线判定定理的应用，解题关键是准确识别图形中角的位置关系，区分同位角、内错角、同旁内角的定义，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.6

6. 如图，已知 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，$ AC $ 平分 $ ∠ DAB $，则 $ DC // AB $。

完成下面的说理过程（填空）。
理由：因为 $ AC $ 平分 $ ∠ DAB $（已知），
所以 $ ∠ 1 = $(角平分线的定义)。
又因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $（已知），
所以 =(等量代换)。
所以 $ DC // AB $（）。

6. 解：因为AC平分∠DAB(已知)，
所以∠1=∠CAB(角平分线的定义)。
又因为∠1=∠2(已知)，
所以∠2=∠CAB(等量代换)。
所以DC//AB(内错角相等，两直线平行)。
故答案为：∠CAB；∠2；∠CAB；内错角相等，两直线平行。

【分析】
要证明$DC// AB$，我们可以通过寻找相等的内错角来推导。首先根据角平分线的定义，由$AC$平分$∠DAB$可得出$∠1$与$∠CAB$相等；再结合已知的$∠1=∠2$，通过等量代换得到$∠2$与$∠CAB$相等，而这两个角是$DC$和$AB$被$AC$所截形成的内错角，根据内错角相等两直线平行的判定定理，就能证明$DC// AB$。
【解析】
因为 $AC$ 平分 $∠ DAB $（已知），
所以 $ ∠ 1 = \boldsymbol{∠CAB} $ (角平分线的定义)。
又因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $（已知），
所以 $ \boldsymbol{∠2} = \boldsymbol{∠CAB} $ (等量代换)。
所以 $ DC // AB $（$\boldsymbol{内错角相等，两直线平行}$）。
【答案】
$∠CAB$；$∠2$；$∠CAB$；内错角相等，两直线平行
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题考查了角平分线的定义和平行线的判定定理，属于基础题型，解题关键是熟练掌握相关定理，通过等量代换找到能证明两直线平行的内错角。
【难度系数】
0.9