二、填空题(每小题 6 分,共 24 分)
9. 如图,AO⊥OC,点 B,O,D 在同一条直线上,若∠1=15°,则∠2 的度数是。

9. $105°$

【分析】
首先，根据AO⊥OC可得出∠AOC=90°，已知∠1=15°，通过角的和差关系能求出∠BOC的度数；接着，因为点B、O、D在同一条直线上，所以∠2与∠BOC互为邻补角，它们的和为180°，由此即可计算出∠2的度数。
【解析】
因为AO⊥OC，根据垂直的定义可得∠AOC=90°。
已知∠1=15°，则∠BOC=∠AOC - ∠1=90°-15°=75°。
又因为点B、O、D在同一条直线上，根据平角的定义可知∠2+∠BOC=180°，
所以∠2=180°-∠BOC=180°-75°=105°。
【答案】
$105°$
【知识点】
垂直的定义、平角的定义
【点评】
本题主要考查垂直与平角定义的应用，解题关键是利用角的和差关系，结合垂直、平角的性质建立已知角与未知角的联系。
【难度系数】
0.8

10. 如图,将一个宽度相等的纸条沿 AB 折叠,已知∠1=50°,则∠2=。

10. $100°$

【分析】
首先，纸条的上下两边互相平行，根据平行线内错角相等的性质，可得出∠1与∠ABC相等；其次，纸条沿AB折叠，根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，即∠ABD=∠ABC；最后，利用平行线内错角相等的性质，∠2与∠CBD（∠ABC与∠ABD的和）相等，进而计算出∠2的度数。
【解析】
1. 由于纸条的上下两边平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ABC = ∠ 1 = 50°$；
2. 由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此$∠ ABD = ∠ ABC = 50°$；
3. 计算$∠ CBD$的度数：$∠ CBD = ∠ ABC + ∠ ABD = 50° + 50° = 100°$；
4. 又因为纸条上下两边平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 2 = ∠ CBD = 100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 折叠的性质
【点评】
本题主要考查平行线的性质与折叠的性质的综合应用，解题关键是准确识别图形中角的关系，通过平行线和折叠的性质完成角的转化与计算，需要学生具备一定的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

11. 如图,4 根火柴棒形成象形汉字“口”,平移火柴棒后,“口”字能变成的象形汉字是图中的。(填序号)

11. ①

【分析】
要解决这道题，首先需要明确平移的核心特征：平移只改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小和方向。我们可以先观察原“口”字的火柴特征：由两根水平火柴、两根竖直火柴组成，四根火柴的方向固定（水平的始终水平，竖直的始终竖直）。接下来逐一分析选项，判断哪个选项的火柴方向、相对位置与原图形一致，符合平移的特征：
1. 分析选项①：四根火柴为两根水平、两根竖直，方向与原“口”字的火柴完全一致，是通过平移原火柴得到的；
2. 分析选项②：水平火柴的相对位置与原图形不符，不符合平移的规律；
3. 分析选项③：有一根水平火柴位于竖直火柴的中间，这是通过旋转火柴得到的，不符合平移的特征；
4. 分析选项④：存在火柴的位置和方向的组合变化，不是单纯的平移。
【解析】
1. 平移的性质：平移是图形在平面内沿某一方向移动，移动过程中图形的形状、大小、方向均不改变，仅位置发生变化。
2. 观察原“口”字：由2根水平放置、2根竖直放置的火柴组成，所有火柴的方向固定。
3. 逐一判断选项：
①：四根火柴为2根水平、2根竖直，方向与原火柴一致，符合平移的特征；
②：水平火柴的相对位置与原图形差异大，不符合平移规律；
③：存在火柴的旋转操作，不符合平移不改变方向的特征；
④：存在火柴的旋转与位置组合变化，不符合平移特征。
因此，“口”字平移后能变成的象形汉字是①。
【答案】
①
【知识点】
平移的性质
【点评】
本题主要考查对平移性质的理解与应用，解题的关键是抓住“平移不改变图形的形状、大小和方向”这一核心点，通过对比火柴的方向和相对位置进行判断，需要仔细观察图形特征。
【难度系数】
0.7

12. 如图,AB//CD,E 是 CD 上一点,AE 交 BC 于点 F,且∠ABE=∠DBC,∠ABC=∠AEB。若 BE 平分∠CBD,∠AEB=40°,则∠D=。

12. $60°$

【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下步骤思考：
1. 先利用已知的角相等关系，结合角平分线的定义，推导出相关角的度数：已知∠AEB=40°，∠ABC=∠AEB，所以∠ABC=40°；BE平分∠CBD，故∠CBE=∠EBD，又∠ABE=∠DBC，而∠DBC=∠CBE+∠EBD=2∠CBE，同时∠ABE=∠ABC+∠CBE，由此可列等式求出∠CBE的度数，进而得到∠ABE、∠EBD的度数。
2. 利用三角形内角和定理，在△ABE中求出∠BAE的度数；再根据AB//CD的平行线性质，得到∠AEC=∠BAE。
3. 结合平角的定义求出∠BED的度数，最后在△BED中，利用三角形内角和定理计算出∠D的度数。
【解析】
1. 已知∠AEB=40°，且∠ABC=∠AEB，所以$\boldsymbol{∠ABC=40°}$。
2. 因为BE平分∠CBD，所以$\boldsymbol{∠CBE=∠EBD}$，即$\boldsymbol{∠DBC=2∠CBE}$。
又因为∠ABE=∠DBC，且∠ABE=∠ABC+∠CBE=40°+∠CBE，所以：
$40°+∠CBE=2∠CBE$
解得$\boldsymbol{∠CBE=40°}$，则$\boldsymbol{∠EBD=40°}$，$\boldsymbol{∠ABE=80°}$。
3. 在△ABE中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-80°-40°=60°$
因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$\boldsymbol{∠AEC=∠BAE=60°}$。
4. 由于C、E、D共线，∠AEC+∠AEB+∠BED=180°，所以：
$∠BED=180°-∠AEC-∠AEB=180°-60°-40°=80°$
5. 在△BED中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠D=180°-∠BED-∠EBD=180°-80°-40°=60°$
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是理清各个角之间的数量关系，通过已知条件逐步推导未知角的度数，需要学生具备较强的逻辑推理能力和对几何基本定理的熟练运用能力。
【难度系数】
0.4

三、解答题(共 28 分)
13. (12 分)如图,给出两个 4×4 方格,按下列要求作格点三角形。(图形的顶点都在格点上)
(1)在图 1 中,将△ABC 平移,得到△A'B'C',使得△A'B'C'与△ABC 无重合部分。
(2)在图 2 中,线段 AB 与 CD 相交,产生∠α,请画一个△ABE,使得△ABE 中的一个角等于∠α。

13. 解:(1)如图 1,$△ A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$为所求作的三角形。


(2)如图 2,$△ ABE$为所求作的三角形。

【分析】
1. 对于第(1)问，根据平移的性质，平移后的图形与原图形全等，对应点的连线平行且相等。我们可以选择合适的平移方向，如向右、向左、向上、向下，和平移距离，确定△ABC各顶点平移后的对应点，再连接对应点得到符合要求的△A'B'C'，只要保证平移后与原三角形无重合部分即可。
2. 对于第(2)问，要作△ABE使得其中一个角等于∠α，可利用网格的特点，通过构造平行线得到同位角、内错角相等，或者构造全等三角形，找到与∠α相等的角，再以AB为一边确定点E的位置，从而画出△ABE。
【解析】
(1) 示例作法：将点A、B、C分别向右平移3格，得到对应点A'、B'、C'，依次连接A'、B'、C'，得到△A'B'C'，此三角形与△ABC无重合部分，即为所求，平移方向和距离不唯一，合理即可。
(2) 示例作法：过点B作一条直线，使得该直线与CD平行，利用网格的平行关系，在这条直线上选取格点E，连接AE，此时△ABE中的∠ABE等于∠α，即为所求，画法不唯一，合理即可。
【答案】
(1) 如图1，△A'B'C'为所求作的三角形；
(2) 如图2，△ABE为所求作的三角形。
【知识点】
平移的性质，作一个角等于已知角
【点评】
本题考查了平移作图和作相等角的基本作图，解题关键是掌握平移的性质以及利用网格构造相等角的方法，题目答案不唯一，只要符合题目要求即可。
【难度系数】
0.7

14. (16 分)(1)【问题】如图 1,若 AB//CD,∠BEP=25°,∠PFC=150°,求∠EPF 的度数。
(2)【问题迁移】如图 2,AB//CD,点 P 在 AB 的上方,∠PEA,∠PFC,∠EPF 之间有何数量关系? 请说明理由。
(3)【联想拓展】如图 3 所示,在(2)的条件下,已知∠EPF=α,∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线相交于点 G,请用含有 α 的式子表示∠G 的度数。

14. 解:(1)如图 1,过点 P 作 $PQ // AB$。
因为 $PQ // AB$,$AB // CD$,
所以 $CD // PQ$。
所以 $ ∠ CFP + ∠ FPQ = 180° $。
所以 $ ∠ FPQ = 180° - 150° = 30° $。
又因为 $PQ // AB$,
所以 $ ∠ BEP = ∠ EPQ = 25° $,
所以 $ ∠ EPF = ∠ EPQ + ∠ FPQ = 25° + 30° = 55° $。

(2)$∠ PFC = ∠ PEA + ∠ EPF$。
理由:如图 2,过点 P 作 $PN // AB$,则 $PN // CD$,
所以 $ ∠ PEA = ∠ NPE $。
因为 $ ∠ FPN = ∠ NPE + ∠ FPE $,
所以 $ ∠ FPN = ∠ PEA + ∠ FPE $。
因为 $PN // CD$,
所以 $ ∠ FPN = ∠ PFC $。
所以 $ ∠ PFC = ∠ PEA + ∠ FPE $。

(3)如图 3,过点 G 作 AB 的平行线 GH。
因为 $GH // AB$,$AB // CD$,
所以 $GH // AB // CD$。
所以 $ ∠ HGE = ∠ AEG $,
$ ∠ HGF = ∠ CFG $。
又因为 $ ∠ PEA$的平分线和 $ ∠ PFC$
的平分线相交于点 G,
所以 $ ∠ HGE = ∠ AEG = \frac{1}{2} ∠ AEP $,$ ∠ HGF = ∠ CFG = \frac{1}{2} ∠ CFP $。
由(2)得,$∠ PFC = ∠ PEA + ∠ FPE$,
所以 $ ∠ HGF = \frac{1}{2} (∠ FPE + ∠ AEP) = \frac{1}{2} (α + ∠ AEP) $,
所以 $ ∠ G = ∠ HGF - ∠ HGE = \frac{1}{2} (α + ∠ AEP) - ∠ HGE = \frac{1}{2} α + \frac{1}{2} ∠ AEP - ∠ HGE = \frac{1}{2} α $。

【分析】
(1) 对于折线形成的角度计算，通常采用过拐点作平行线的方法，借助平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补）将所求角拆分，与已知角建立联系后计算。本题过点P作PQ//AB，结合AB//CD得到PQ//CD，分别求出∠EPQ和∠FPQ的度数，相加即可得到∠EPF的度数。
(2) 探究角的数量关系，同样通过作辅助线过点P作PN//AB，利用平行线的传递性得到PN//CD，借助内错角相等的性质，将∠PFC转化为∠FPN，再结合角的和的关系推导三个角的数量关系。
(3) 涉及角平分线时，先过点G作平行线GH//AB，利用平行线性质得到∠G与角平分线分角的关系，再结合(2)的结论，将∠PFC用∠PEA和α表示，代入后化简即可得到∠G的度数。
【解析】
(1) 如图1，过点P作$PQ // AB$。
因为 $PQ // AB$，$AB // CD$，
所以 $CD // PQ$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
所以 $∠CFP + ∠FPQ = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
所以 $∠FPQ = 180° - 150° = 30°$。
又因为 $PQ // AB$，
所以 $∠BEP = ∠EPQ = 25°$（两直线平行，内错角相等），
所以 $∠EPF = ∠EPQ + ∠FPQ = 25° + 30° = 55°$。
(2) $∠PFC = ∠PEA + ∠EPF$。
理由：如图2，过点P作$PN // AB$，
因为 $AB // CD$，所以 $PN // CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
所以 $∠PEA = ∠NPE$（两直线平行，内错角相等）。
因为 $∠FPN = ∠NPE + ∠FPE$，
所以 $∠FPN = ∠PEA + ∠FPE$。
因为 $PN // CD$，
所以 $∠FPN = ∠PFC$（两直线平行，内错角相等）。
所以 $∠PFC = ∠PEA + ∠EPF$。
(3) 如图3，过点G作AB的平行线GH。
因为 $GH // AB$，$AB // CD$，
所以 $GH // AB // CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
所以 $∠HGE = ∠AEG$，$∠HGF = ∠CFG$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$∠PEA$的平分线和$∠PFC$的平分线相交于点G，
所以 $∠HGE = ∠AEG = \frac{1}{2}∠AEP$，$∠HGF = ∠CFG = \frac{1}{2}∠CFP$。
由(2)得，$∠PFC = ∠PEA + ∠EPF$，且$∠EPF=α$，
所以 $∠HGF = \frac{1}{2}(∠FPE + ∠AEP) = \frac{1}{2}(α + ∠AEP)$，
所以 $∠G = ∠HGF - ∠HGE = \frac{1}{2}(α + ∠AEP) - \frac{1}{2}∠AEP = \frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠EPF=55°}$；
(2) $\boldsymbol{∠PFC = ∠PEA + ∠EPF}$；
(3) $\boldsymbol{∠G=\frac{1}{2}α}$。
【知识点】
1. 平行线的性质与判定
2. 角平分线的性质
3. 角度和差转化
【点评】
本题是平行线性质的综合应用，核心是通过作辅助线构造平行线，将未知角转化为已知角，体现了几何中的转化思想。三个问题逐步递进，从基础角度计算到角的数量关系探究，再结合角平分线拓展，考查了学生对平行线性质的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4