(1) 下列各关系中，成正比例关系的是()。

A.三角形的底边不变，它的高和面积
B.圆的面积一定，它的半径和圆周率
C.某同学的年龄一定，他的身高和体重

A

A选项中三角形的面积公式为$S = \frac{1}{2}ah$（$a$表示底，$h$表示高），当底边$a$不变时，$S÷ h=\frac{1}{2}a$（定值），也就是三角形的面积和高比值一定，所以三角形的底边不变时，它的高和面积成正比例关系；
B选项中圆周率是一个固定的值，不是一个变量，圆的面积$S = π r^{2}$，圆的面积一定时，半径是定值，圆周率不是变量，不存在变量之间的比例关系；
C选项中某同学的年龄一定时，他的身高和体重之间没有固定的比值关系，不是成正比例关系。

(2) 下面各式中，$x$和$y$是两种相关联的量，其中$x$和$y$成反比例关系的是()。

A.$x=\frac{1}{6}y$
B.$\frac{1}{y}=\frac{x}{3}$
C.$xy^{2}=100$

B

反比例关系的定义是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，形式为$xy = k$（$k$为常数，$x≠0$，$y≠0$）。
选项A：由$x = \frac{1}{6}y$可得$\frac{x}{y}=\frac{1}{6}$，是比值一定，$x$和$y$成正比例关系，该选项错误。
选项B：由$\frac{1}{y}=\frac{x}{3}$可得$xy = 3$，是乘积一定，$x$和$y$成反比例关系，该选项正确。
选项C：由$xy^{2}=100$可得$x$与$y^{2}$的乘积一定，不是$x$和$y$的乘积一定，所以$x$和$y$不成反比例关系，该选项错误。

(3) 如果甲数是乙数的$\frac{1}{4}$，那么甲数与乙数()。

A.成正比例关系
B.成反比例关系
C.不成比例关系

A

由题意可知甲数是乙数的$\frac{1}{4}$，即甲数$:$乙数$ = \frac{1}{4}$（一定），也就是甲数与乙数的比值一定。
根据正比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，所以甲数与乙数成正比例关系。

2. 聪聪用自制的皮筋秤称物体的质量，所得数据如下表所示。(皮筋最大承重$2kg$)

(1) 根据表中的数据描点、连线，完成下图。
(2) 皮筋伸长的长度和所称物体的质量是否成正比例关系？

(3) 根据上图判断，称$900g$的物体时，皮筋伸长了()$cm$。
(4) 聪聪用这个皮筋秤称梨，皮筋伸长了$5cm$，梨的质量是()$g$。

(1) （按要求完成描点连线图）
(2) 成正比例关系
(3) 9
(4) 500

(1) 根据表格数据，在坐标图中描出(0,0)、(200,2)、(400,4)、(600,6)、(800,8)、(1000,10)等点，然后用直线连接这些点。
(2) 计算皮筋伸长长度与物体质量的比值：200÷2=100，400÷4=100，600÷6=100，800÷8=100，1000÷10=100，比值一定，所以成正比例关系。
(3) 由图像可知，质量每增加200g，伸长增加2cm，900g在800g和1000g中间，伸长长度在8cm和10cm中间，为9cm。
(4) 因为比值为100，伸长5cm时，质量为5×100=500g。

3. 提升题 如果$m:3=9:n$，那么$m$、$n$成比例关系吗？成什么比例关系？如果$x:3=y:7$，那么$x$、$y$成比例关系吗？成什么比例关系？

$m$、$n$成比例关系，成反比例关系；$x$、$y$成比例关系，成正比例关系。

对于$m:3=9:n$，根据比例基本性质可得$mn=3×9=27$，$m$与$n$的乘积一定，所以$m$、$n$成反比例关系；对于$x:3=y:7$，可得$7x=3y$，即$\frac{x}{y}=\frac{3}{7}$，$x$与$y$的比值一定，所以$x$、$y$成正比例关系。