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1. 欧拉趣题
欧拉是世界上著名的数学家，在他的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了 100 个鸡蛋去集市上卖，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同。第一个农妇说：“如果我有你这么多鸡蛋就可以卖 45 个克罗索（古代欧洲的一种货币名称）。”第二个农妇答道：“如果我有你这么多鸡蛋就只能卖 20 个克罗索。”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋，如果设第一个农妇带了 $ x $ 个鸡蛋，你能根据题意列出分式方程吗？
欧拉是世界上著名的数学家，在他的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了 100 个鸡蛋去集市上卖，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同。第一个农妇说：“如果我有你这么多鸡蛋就可以卖 45 个克罗索（古代欧洲的一种货币名称）。”第二个农妇答道：“如果我有你这么多鸡蛋就只能卖 20 个克罗索。”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋，如果设第一个农妇带了 $ x $ 个鸡蛋，你能根据题意列出分式方程吗？
答案
解：设第一个农妇带了$ x $个鸡蛋，则第二个农妇带了$ (100 - x) $个鸡蛋。
根据题意列分式方程：
$x · \frac{45}{100 - x} = (100 - x) · \frac{20}{x}$
两边同乘$ x(100 - x) $去分母得：
$45x^2 = 20(100 - x)^2$
化简得：
$9x^2 = 4(100 - x)^2$
开平方（取正根）得：
$3x = 2(100 - x)$
解得：
$3x = 200 - 2x \\5x = 200 \x = 40$
检验：当$ x = 40 $时，$ x(100 - x) = 40 × 60 = 2400 ≠ 0 $，所以$ x = 40 $是原分式方程的解。
则第二个农妇带的鸡蛋数为$ 100 - 40 = 60 $（个）
答：第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋。
根据题意列分式方程：
$x · \frac{45}{100 - x} = (100 - x) · \frac{20}{x}$
两边同乘$ x(100 - x) $去分母得：
$45x^2 = 20(100 - x)^2$
化简得：
$9x^2 = 4(100 - x)^2$
开平方（取正根）得：
$3x = 2(100 - x)$
解得：
$3x = 200 - 2x \\5x = 200 \x = 40$
检验：当$ x = 40 $时，$ x(100 - x) = 40 × 60 = 2400 ≠ 0 $，所以$ x = 40 $是原分式方程的解。
则第二个农妇带的鸡蛋数为$ 100 - 40 = 60 $（个）
答：第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋。
2. 油价问题
甲、乙两人同时去同一家加油站加 95 号汽油，甲花 200 元所加的油量比乙花 280 元所加的油量少 10 升。
(1)求 95 号汽油的单价。
(2)甲、乙两人第二次去加 95 号汽油时，单价比第一次少了 1 元/升，甲所加的油量与第一次相同，乙所花的钱与第一次相同，则甲两次加 95 号汽油的平均单价是元/升，乙两次加 95 号汽油的平均单价是元/升。
(3)生活中，小明发现无论油价如何变化，爸爸总按相同金额加油，妈妈总按相同油量加油，结合(2)的计算结果，建议按相同(填“金额”或“油量”)加油更合算，请运用分式的相关知识说明理由。
甲、乙两人同时去同一家加油站加 95 号汽油，甲花 200 元所加的油量比乙花 280 元所加的油量少 10 升。
(1)求 95 号汽油的单价。
(2)甲、乙两人第二次去加 95 号汽油时，单价比第一次少了 1 元/升，甲所加的油量与第一次相同，乙所花的钱与第一次相同，则甲两次加 95 号汽油的平均单价是元/升，乙两次加 95 号汽油的平均单价是元/升。
(3)生活中，小明发现无论油价如何变化，爸爸总按相同金额加油，妈妈总按相同油量加油，结合(2)的计算结果，建议按相同(填“金额”或“油量”)加油更合算，请运用分式的相关知识说明理由。
答案
解：(1)设95号汽油的单价为$x$元/升，根据题意得：
$\frac{280}{x} - \frac{200}{x} = 10$
解得：$x = 8$
经检验，$x = 8$是原方程的解，且符合题意。
答：95号汽油的单价为8元/升。
(2)第二次汽油单价为$8 - 1 = 7$元/升。
甲第一次加油量：$\frac{200}{8} = 25$升，
甲两次总花费：$200 + 25×7 = 375$元，
甲两次平均单价：$\frac{375}{50} = 7.5$元/升；
乙第二次加油量：$\frac{280}{7} = 40$升，
乙两次总加油量：$\frac{280}{8} + 40 = 75$升，
乙两次总花费：$280×2 = 560$元，
乙两次平均单价：$\frac{560}{75} = \frac{112}{15}$元/升。
(3)金额
设两次油价分别为$m$元/升、$n$元/升（$m≠n$，$m＞0$，$n＞0$）。
①若按相同金额加油，每次加油金额为$a$元，
两次总加油量为$\frac{a}{m} + \frac{a}{n} = \frac{a(m+n)}{mn}$，
平均单价为$\frac{2a}{\frac{a(m+n)}{mn}} = \frac{2mn}{m+n}$；
②若按相同油量加油，每次加油量为$b$升，
两次总花费为$bm + bn = b(m+n)$，
平均单价为$\frac{b(m+n)}{2b} = \frac{m+n}{2}$。
计算差值：$\frac{m+n}{2} - \frac{2mn}{m+n} = \frac{(m+n)^2 - 4mn}{2(m+n)} = \frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$，
因为$m≠n$，$m＞0$，$n＞0$，所以$(m-n)^2＞0$，$2(m+n)＞0$，
则$\frac{(m-n)^2}{2(m+n)} ＞ 0$，即$\frac{m+n}{2} ＞ \frac{2mn}{m+n}$。
答：按相同金额加油更合算。
$\frac{280}{x} - \frac{200}{x} = 10$
解得：$x = 8$
经检验，$x = 8$是原方程的解，且符合题意。
答：95号汽油的单价为8元/升。
(2)第二次汽油单价为$8 - 1 = 7$元/升。
甲第一次加油量：$\frac{200}{8} = 25$升，
甲两次总花费：$200 + 25×7 = 375$元，
甲两次平均单价：$\frac{375}{50} = 7.5$元/升；
乙第二次加油量：$\frac{280}{7} = 40$升，
乙两次总加油量：$\frac{280}{8} + 40 = 75$升，
乙两次总花费：$280×2 = 560$元，
乙两次平均单价：$\frac{560}{75} = \frac{112}{15}$元/升。
(3)金额
设两次油价分别为$m$元/升、$n$元/升（$m≠n$，$m＞0$，$n＞0$）。
①若按相同金额加油，每次加油金额为$a$元，
两次总加油量为$\frac{a}{m} + \frac{a}{n} = \frac{a(m+n)}{mn}$，
平均单价为$\frac{2a}{\frac{a(m+n)}{mn}} = \frac{2mn}{m+n}$；
②若按相同油量加油，每次加油量为$b$升，
两次总花费为$bm + bn = b(m+n)$，
平均单价为$\frac{b(m+n)}{2b} = \frac{m+n}{2}$。
计算差值：$\frac{m+n}{2} - \frac{2mn}{m+n} = \frac{(m+n)^2 - 4mn}{2(m+n)} = \frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$，
因为$m≠n$，$m＞0$，$n＞0$，所以$(m-n)^2＞0$，$2(m+n)＞0$，
则$\frac{(m-n)^2}{2(m+n)} ＞ 0$，即$\frac{m+n}{2} ＞ \frac{2mn}{m+n}$。
答：按相同金额加油更合算。
3. 糖水问题
（1）现有不饱和的糖水 $ a $ 克，其中含糖 $ b $ 克，若再往该糖水中加适量 $ m $ 克的糖，生活经验告诉我们，糖水会变甜。请你解释这一生活现象。
（2）应用上述原理，求证：
$\frac{1}{2× 4 - 1} + \frac{1}{4× 6 - 1} + \frac{1}{6× 8 - 1} + ··· + \frac{1}{2n× 2(n + 1) - 1} ＜ \frac{1}{2}$。
（1）现有不饱和的糖水 $ a $ 克，其中含糖 $ b $ 克，若再往该糖水中加适量 $ m $ 克的糖，生活经验告诉我们，糖水会变甜。请你解释这一生活现象。
（2）应用上述原理，求证：
$\frac{1}{2× 4 - 1} + \frac{1}{4× 6 - 1} + \frac{1}{6× 8 - 1} + ··· + \frac{1}{2n× 2(n + 1) - 1} ＜ \frac{1}{2}$。
答案
（1）
解：
原来糖水的浓度为$\frac{b}{a}$，加入$m$克糖后糖水的浓度为$\frac{b+m}{a+m}$，其中$a＞b＞0$，$m＞0$。
$\frac{b+m}{a+m} - \frac{b}{a} = \frac{a(b+m)-b(a+m)}{a(a+m)} = \frac{m(a-b)}{a(a+m)}$，
因为$a＞b＞0$，$m＞0$，所以$\frac{m(a-b)}{a(a+m)}＞0$，即$\frac{b+m}{a+m} ＞ \frac{b}{a}$。
答：糖水浓度变大，因此更甜。
（2）
证明：
由（1）知，当$a＞b＞0$，$m＞0$时，$\frac{b}{a} ＜ \frac{b+m}{a+m}$。
对任意正整数$n$，
$\frac{1}{2n · 2(n+1)-1} = \frac{1}{4n(n+1)-1}$，
取$a=4n(n+1)-1$，$b=1$，$m=1$，则$a＞b＞0$，$m＞0$，
故$\frac{1}{4n(n+1)-1} ＜ \frac{1+1}{4n(n+1)-1+1} = \frac{2}{4n(n+1)} = \frac{1}{2n(n+1)} = \frac{1}{2}( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )$。
$\frac{1}{2×4-1}+\frac{1}{4×6-1}+···+\frac{1}{2n×2(n+1)-1}$
$＜ \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) + ··· + \frac{1}{2}( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )$
$= \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{n+1})$。
因为$\frac{1}{n+1}＞0$，所以$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{n+1}) ＜ \frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2×4-1}+\frac{1}{4×6-1}+···+\frac{1}{2n×2(n+1)-1} ＜ \frac{1}{2}$。
解：
原来糖水的浓度为$\frac{b}{a}$，加入$m$克糖后糖水的浓度为$\frac{b+m}{a+m}$，其中$a＞b＞0$，$m＞0$。
$\frac{b+m}{a+m} - \frac{b}{a} = \frac{a(b+m)-b(a+m)}{a(a+m)} = \frac{m(a-b)}{a(a+m)}$，
因为$a＞b＞0$，$m＞0$，所以$\frac{m(a-b)}{a(a+m)}＞0$，即$\frac{b+m}{a+m} ＞ \frac{b}{a}$。
答：糖水浓度变大，因此更甜。
（2）
证明：
由（1）知，当$a＞b＞0$，$m＞0$时，$\frac{b}{a} ＜ \frac{b+m}{a+m}$。
对任意正整数$n$，
$\frac{1}{2n · 2(n+1)-1} = \frac{1}{4n(n+1)-1}$，
取$a=4n(n+1)-1$，$b=1$，$m=1$，则$a＞b＞0$，$m＞0$，
故$\frac{1}{4n(n+1)-1} ＜ \frac{1+1}{4n(n+1)-1+1} = \frac{2}{4n(n+1)} = \frac{1}{2n(n+1)} = \frac{1}{2}( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )$。
$\frac{1}{2×4-1}+\frac{1}{4×6-1}+···+\frac{1}{2n×2(n+1)-1}$
$＜ \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) + ··· + \frac{1}{2}( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )$
$= \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{n+1})$。
因为$\frac{1}{n+1}＞0$，所以$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{n+1}) ＜ \frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2×4-1}+\frac{1}{4×6-1}+···+\frac{1}{2n×2(n+1)-1} ＜ \frac{1}{2}$。
