4. 自行车变速问题
自行车是人类发明的最成功的一种人力机械，以脚踩踏为动力，是绿色环保的交通工具。骑行时踩脚踏板，链轮转动，通过链条带动飞轮转动，飞轮带动后轮转动，后轮的转动推动车子前进。变速自行车通过改变传动装置中链轮和飞轮的齿数，从而改变传动比$(\mathrm{传动比} = \frac{\mathrm{链轮齿数}}{\mathrm{飞轮齿数}}×\mathrm{后轮直径})$来实现变速。传动比越大，自行车速度就越快，越费力；反之，自行车速度越慢，越省力。问：增加相同的链轮和飞轮的齿数，传动比增大还是减小？

解：设原链轮齿数为$ a $，原飞轮齿数为$ b $，后轮直径为$ d $，增加的齿数为$ m $，其中$ a ＞ b ＞ 0 $，$ m ＞ 0 $，$ d ＞ 0 $。
原传动比$ k_1 = \frac{a}{b}d $，
增加齿数后的传动比$ k_2 = \frac{a+m}{b+m}d $。
$\begin{aligned}k_1 - k_2&= d( \frac{a}{b} - \frac{a+m}{b+m} )\\&= d· \frac{a(b+m) - b(a+m)}{b(b+m)}\\&= d· \frac{ab + am - ab - bm}{b(b+m)}\\&= d· \frac{m(a - b)}{b(b+m)}\end{aligned}$
因为$ a ＞ b ＞ 0 $，$ m ＞ 0 $，$ d ＞ 0 $，
所以$ m(a - b) ＞ 0 $，$ b(b+m) ＞ 0 $，
因此$ d· \frac{m(a - b)}{b(b+m)} ＞ 0 $，即$ k_1 ＞ k_2 $。
答：增加相同的链轮和飞轮的齿数，传动比减小。