登录
1. 若把分式$\frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}$中的$x$和$y$都扩大$2$倍，那么分式的值()
A.扩大$2$倍
B.缩小$2$倍
C.缩小$4$倍
D.不变
A.扩大$2$倍
B.缩小$2$倍
C.缩小$4$倍
D.不变
答案
D
解析
将x、y分别替换为2x、2y，代入分式得：
$\frac{(2x)^{2}+(2y)^{2}}{2×(2x)×(2y)}=\frac{4x^{2}+4y^{2}}{8xy}=\frac{4(x^{2}+y^{2})}{8xy}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}$，与原分式相等，故分式的值不变。
$\frac{(2x)^{2}+(2y)^{2}}{2×(2x)×(2y)}=\frac{4x^{2}+4y^{2}}{8xy}=\frac{4(x^{2}+y^{2})}{8xy}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}$，与原分式相等，故分式的值不变。
2. 若$s=\frac{a+b}{b - a}$，则$b$为()
A.$\frac{a + as}{s + 1}$
B.$\frac{a + as}{s - 1}$
C.$\frac{a + as}{s}$
D.$\frac{a - as}{s + 1}$
A.$\frac{a + as}{s + 1}$
B.$\frac{a + as}{s - 1}$
C.$\frac{a + as}{s}$
D.$\frac{a - as}{s + 1}$
答案
B
解析
1. 由$s=\frac{a+b}{b - a}$，两边同乘$(b - a)$得：$s(b - a)=a + b$；
2. 展开左边：$sb - sa = a + b$；
3. 移项，将含$b$的项移至左边，其余项移至右边：$sb - b = a + sa$；
4. 提取公因式：$b(s - 1)=a(1 + s)$；
5. 两边同除以$(s - 1)$，得$b=\frac{a + as}{s - 1}$。
2. 展开左边：$sb - sa = a + b$；
3. 移项，将含$b$的项移至左边，其余项移至右边：$sb - b = a + sa$；
4. 提取公因式：$b(s - 1)=a(1 + s)$；
5. 两边同除以$(s - 1)$，得$b=\frac{a + as}{s - 1}$。
3. 若$2a = 3b(b≠0)$，则$\frac{4a^{2}-2ab - b^{2}}{ab - 2a^{2}}=$()
A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{10}{3}$
C.$-\frac{5}{3}$
D.$-\frac{2}{3}$
A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{10}{3}$
C.$-\frac{5}{3}$
D.$-\frac{2}{3}$
答案
C
解析
由$2a=3b(b≠0)$，得$a=\frac{3}{2}b$。
将$a=\frac{3}{2}b$代入分式：
分子：$4a^2 - 2ab - b^2 = 4×(\frac{3}{2}b)^2 - 2×\frac{3}{2}b× b - b^2 = 9b^2 - 3b^2 - b^2 = 5b^2$；
分母：$ab - 2a^2 = \frac{3}{2}b× b - 2×(\frac{3}{2}b)^2 = \frac{3}{2}b^2 - \frac{9}{2}b^2 = -3b^2$；
则原式$=\frac{5b^2}{-3b^2}=-\frac{5}{3}$（$b≠0$，约去$b^2$）。
将$a=\frac{3}{2}b$代入分式：
分子：$4a^2 - 2ab - b^2 = 4×(\frac{3}{2}b)^2 - 2×\frac{3}{2}b× b - b^2 = 9b^2 - 3b^2 - b^2 = 5b^2$；
分母：$ab - 2a^2 = \frac{3}{2}b× b - 2×(\frac{3}{2}b)^2 = \frac{3}{2}b^2 - \frac{9}{2}b^2 = -3b^2$；
则原式$=\frac{5b^2}{-3b^2}=-\frac{5}{3}$（$b≠0$，约去$b^2$）。
4. 货车行驶$25$千米与小车行驶$35$千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶$20$千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为$x$千米/小时，依题意列方程正确的是()
A.$\frac{25}{x}=\frac{35}{x - 20}$
B.$\frac{25}{x - 20}=\frac{35}{x}$
C.$\frac{25}{x}=\frac{35}{x + 20}$
D.$\frac{25}{x + 20}=\frac{35}{x}$
A.$\frac{25}{x}=\frac{35}{x - 20}$
B.$\frac{25}{x - 20}=\frac{35}{x}$
C.$\frac{25}{x}=\frac{35}{x + 20}$
D.$\frac{25}{x + 20}=\frac{35}{x}$
答案
C
解析
1. 设货车速度为$x$千米/小时，由小车每小时比货车多行驶20千米，得小车速度为$(x+20)$千米/小时。
2. 根据“时间=路程÷速度”，货车行驶25千米的时间为$\frac{25}{x}$，小车行驶35千米的时间为$\frac{35}{x+20}$。
3. 因两车所用时间相同，故列方程：$\frac{25}{x}=\frac{35}{x+20}$。
2. 根据“时间=路程÷速度”，货车行驶25千米的时间为$\frac{25}{x}$，小车行驶35千米的时间为$\frac{35}{x+20}$。
3. 因两车所用时间相同，故列方程：$\frac{25}{x}=\frac{35}{x+20}$。
5. 已知分式$\frac{x - 1}{x + 1}$的值是$2$，那么$x$的值是()
A.$-3$
B.$3$
C.$-1$
D.$1$
A.$-3$
B.$3$
C.$-1$
D.$1$
答案
A
解析
根据题意列方程$\frac{x - 1}{x + 1}=2$（$x≠-1$），方程两边同乘$x+1$得：$x-1=2(x+1)$；去括号得$x-1=2x+2$；移项合并同类项得$-x=3$，解得$x=-3$。经检验，$x=-3$时分母不为0，是原方程的解。
6. 解方程：
（1）$\frac{2}{x - 1}=1+\frac{x + 3}{x - 1}$.
（2）$\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{4}{x^{2}-1}=1$.
（1）$\frac{2}{x - 1}=1+\frac{x + 3}{x - 1}$.
（2）$\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{4}{x^{2}-1}=1$.
答案
解：（1）方程两边同乘$(x-1)$，得
$2=(x-1)+(x+3)$
去括号，得
$2=x-1+x+3$
合并同类项，得
$2=2x+2$
移项、合并同类项，得
$2x=0$
解得$x=0$
检验：当$x=0$时，$x-1=-1≠0$
所以$x=0$是原方程的解。
（2）原方程可化为$\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{4}{(x-1)(x+1)}=1$
方程两边同乘$(x-1)(x+1)$，得
$(x+1)^2 - 4=(x-1)(x+1)$
展开，得
$x^2+2x+1-4=x^2-1$
合并同类项，得
$x^2+2x-3=x^2-1$
移项、合并同类项，得
$2x=2$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+1)=0$，所以$x=1$是增根
因此原方程无解。
$2=(x-1)+(x+3)$
去括号，得
$2=x-1+x+3$
合并同类项，得
$2=2x+2$
移项、合并同类项，得
$2x=0$
解得$x=0$
检验：当$x=0$时，$x-1=-1≠0$
所以$x=0$是原方程的解。
（2）原方程可化为$\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{4}{(x-1)(x+1)}=1$
方程两边同乘$(x-1)(x+1)$，得
$(x+1)^2 - 4=(x-1)(x+1)$
展开，得
$x^2+2x+1-4=x^2-1$
合并同类项，得
$x^2+2x-3=x^2-1$
移项、合并同类项，得
$2x=2$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+1)=0$，所以$x=1$是增根
因此原方程无解。
7. 某市为了治理污水，需要铺设一条全长$550$米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划增加$10\%$，结果提前$5$天完成这一任务，原计划平均每天铺设多少米管道？
答案
解：设原计划平均每天铺设$x$米管道，则实际平均每天铺设$(1+10\%)x = 1.1x$米管道。
根据题意，得：
$\frac{550}{x} - \frac{550}{1.1x} = 5$
化简方程：
$\frac{550}{x} - \frac{500}{x} = 5$
$\frac{50}{x} = 5$
解得：$x = 10$
经检验，$x = 10$是原分式方程的解，且符合题意。
答：原计划平均每天铺设10米管道。
根据题意，得：
$\frac{550}{x} - \frac{550}{1.1x} = 5$
化简方程：
$\frac{550}{x} - \frac{500}{x} = 5$
$\frac{50}{x} = 5$
解得：$x = 10$
经检验，$x = 10$是原分式方程的解，且符合题意。
答：原计划平均每天铺设10米管道。
