4. 当$m$为何值时，用去分母的方法解方程$\frac{2}{x + 1}+\frac{5}{1 - x}=\frac{m}{x^{2}-1}$时会产生增根？

解：
原方程可化为：$\frac{2}{x + 1}-\frac{5}{x - 1}=\frac{m}{(x + 1)(x - 1)}$
去分母，两边同乘$(x+1)(x-1)$，得：
$2(x - 1) - 5(x + 1) = m$
整理得：
$2x - 2 - 5x - 5 = m$
$m = -3x - 7$
因为分式方程产生增根，所以最简公分母$(x+1)(x-1)=0$，解得$x=1$或$x=-1$。
当$x=1$时，$m=-3×1 -7=-10$；
当$x=-1$时，$m=-3×(-1)-7=-4$。
综上，当$m=-10$或$m=-4$时，解方程会产生增根。

5. 定义$a*b=\frac{a}{b}(b≠0)$，则方程$2*(x + 3)=1*(2x)$的解为.

$x=1$

根据定义$a*b=\frac{a}{b}(b≠0)$，将方程转化为$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{2x}$。
1. 去分母：两边同乘最简公分母$2x(x+3)$（$x≠-3$且$x≠0$），得$4x = x + 3$；
2. 移项合并：$4x - x = 3$，即$3x=3$；
3. 系数化为1：$x=1$；
4. 检验：将$x=1$代入$2x(x+3)$，得$2×1×(1+3)=8≠0$，故$x=1$是原方程的解。

6. 当$a = $时，关于$x$的方程$\frac{2ax - 3}{x + 1}=\frac{1}{2}$的根是$x = 3$.

$\frac{5}{6}$

将$x=3$代入方程$\frac{2ax - 3}{x + 1}=\frac{1}{2}$，得$\frac{2a×3 - 3}{3 + 1}=\frac{1}{2}$，化简为$\frac{6a - 3}{4}=\frac{1}{2}$；两边同乘4得$6a - 3 = 2$，移项计算得$6a=5$，解得$a=\frac{5}{6}$。

▲7. 已知关于$x$的方程$\frac{3 - 2x}{x - 3}+\frac{2 + mx}{3 - x}=-1$无解，求$m$的值.

解：
原方程可化为：$\frac{3 - 2x}{x - 3} - \frac{2 + mx}{x - 3} = -1$
方程两边同乘$(x - 3)$（$x ≠ 3$），得：
$3 - 2x - (2 + mx) = -(x - 3)$
去括号，得：
$3 - 2x - 2 - mx = -x + 3$
移项、合并同类项，得：
$(1 + m)x = -2$
分两种情况讨论：
1. 当$1 + m = 0$时，即$m = -1$，整式方程$0 · x = -2$无解，此时原分式方程无解；
2. 当原分式方程有增根时，增根为$x = 3$，将$x = 3$代入$(1 + m)x = -2$，得：
$3(1 + m) = -2$
解得：$m = -\frac{5}{3}$
综上，$m$的值为$-1$或$-\frac{5}{3}$。

8. (1)解下列方程：$x+\frac{2}{x}=3$的根为，$x+\frac{6}{x}=5$的根为，$x+\frac{12}{x}=7$的根为.
(2)根据这类方程的特征，写出第$n$个方程为，其根为.
(3)请利用(2)的结论，求关于$x$的方程$x+\frac{n^{2}+n}{x - 3}=2n + 4$($n$为正整数)的根.

解：
(1)
对于方程$x+\frac{2}{x}=3$，
两边同乘$x$（$x≠0$）得：$x^2 + 2 = 3x$，
整理得：$x^2 - 3x + 2 = 0$，
因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=2$，
经检验，$x_1=1$，$x_2=2$都是原方程的根。
对于方程$x+\frac{6}{x}=5$，
两边同乘$x$（$x≠0$）得：$x^2 + 6 = 5x$，
整理得：$x^2 - 5x + 6 = 0$，
因式分解得：$(x-2)(x-3)=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=3$，
经检验，$x_1=2$，$x_2=3$都是原方程的根。
对于方程$x+\frac{12}{x}=7$，
两边同乘$x$（$x≠0$）得：$x^2 + 12 = 7x$，
整理得：$x^2 - 7x + 12 = 0$，
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$，
解得：$x_1=3$，$x_2=4$，
经检验，$x_1=3$，$x_2=4$都是原方程的根。
故根依次为$1$，$2$；$2$，$3$；$3$，$4$。
(2)
第$n$个方程为$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$，
其根为$x_1=n$，$x_2=n+1$。
(3)
将方程$x+\frac{n^2+n}{x - 3}=2n + 4$变形：
$x - 3 + 3 + \frac{n(n+1)}{x - 3}=2n + 4$，
整理得：$(x - 3)+\frac{n(n+1)}{x - 3}=2n + 1$，
令$y=x-3$，则方程变为$y+\frac{n(n+1)}{y}=2n+1$，
由(2)的结论可知，$y_1=n$，$y_2=n+1$，
当$y=n$时，$x-3=n$，解得$x=n+3$；
当$y=n+1$时，$x-3=n+1$，解得$x=n+4$，
经检验，$x=n+3$和$x=n+4$都使$x-3≠0$，都是原方程的根。
所以原方程的根为$x_1=n+3$，$x_2=n+4$。