例 1 计算：（1）$\frac{5y}{3x}÷\frac{10y}{21x^{2}}$；（2）$(\frac{-3ab^{2}}{2c^{3}d})^{2}$.

解：（1）$\frac{5y}{3x}÷\frac{10y}{21x^{2}}$
$=\frac{5y}{3x}×\frac{21x^{2}}{10y}$
$=\frac{5y×21x^{2}}{3x×10y}$
$=\frac{7x}{2}$
（2）$(\frac{-3ab^{2}}{2c^{3}d})^{2}$
$=\frac{(-3ab^{2})^{2}}{(2c^{3}d)^{2}}$
$=\frac{9a^{2}b^{4}}{4c^{6}d^{2}}$

例 2 先化简，再求值：$\frac{x + 2}{x^{2} + 6x + 9}÷\frac{1}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$，其中$x$是最小的正整数.

解：
原式$=\frac{x+2}{(x+3)^2} · (x-2)(x+3)^2$
$=(x+2)(x-2)$
$=x^2-4$
∵$x$是最小的正整数，
∴$x=1$，
当$x=1$时，
原式$=1^2-4=-3$

1. 计算$(\frac{m}{3})^{2}·\frac{9}{m}$的结果是()

A.$m$
B.$m^{2}$
C.$m^{3}$
D.$3m$

A

1. 计算分式乘方：$(\frac{m}{3})^{2}=\frac{m^{2}}{9}$；
2. 进行分式乘法运算：$\frac{m^{2}}{9}·\frac{9}{m}=\frac{m^{2}·9}{9·m}=m$。

2. 若$\frac{(\ )}{a + b}÷\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$运算的结果不是分式，则“（）”内的式子可能是（）

A.$ab$
B.$a + b$
C.$a - b$
D.$\frac{1}{a}$

A

设括号内的式子为$M$，根据分式除法法则，将原式转化为乘法：
$\frac{M}{a+b} ÷ \frac{a}{a^2 - b^2} = \frac{M}{a+b} × \frac{a^2 - b^2}{a}$
因式分解$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入约分后得：$\frac{M(a-b)}{a}$。
分别代入选项验证：
选项A：$M=ab$时，$\frac{ab(a-b)}{a}=b(a-b)$，是整式，不是分式；
选项B：$M=a+b$时，$\frac{(a+b)(a-b)}{a}=\frac{a^2 - b^2}{a}$，是分式；
选项C：$M=a-b$时，$\frac{(a-b)^2}{a}$，是分式；
选项D：$M=\frac{1}{a}$时，$\frac{a-b}{a^2}$，是分式。
因此括号内的式子可能是$ab$。

二、填空题
3. 计算：(1)$-\frac{2}{x}·\frac{x}{4} =$；(2)$\frac{x}{2y}÷(-\frac{y^{2}}{2x}) =$.

解：
(1)$-\frac{2}{x}·\frac{x}{4} = -\frac{2·x}{x·4} = -\frac{1}{2}$；
(2)$\frac{x}{2y}÷(-\frac{y^{2}}{2x}) = \frac{x}{2y}·(-\frac{2x}{y^{2}}) = -\frac{x·2x}{2y·y^{2}} = -\frac{x^{2}}{y^{3}}$。

4. 计算：(1)$(\frac{y^{3}}{-2x})^{2} =$；(2)$(\frac{-3y}{2x})^{3} =$.

(1)$\frac{y^6}{4x^2}$；(2)$-\frac{27y^3}{8x^3}$

(1) 根据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，结合负数的偶次幂为正计算：
$(\frac{y^{3}}{-2x})^{2}=\frac{(y^{3})^{2}}{(-2x)^{2}}=\frac{y^{6}}{4x^{2}}$；
(2) 根据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，结合负数的奇次幂为负计算：
$(\frac{-3y}{2x})^{3}=\frac{(-3y)^{3}}{(2x)^{3}}=\frac{-27y^{3}}{8x^{3}}=-\frac{27y^{3}}{8x^{3}}$。