三、解答题
5. 计算：
（1）$\frac{4x}{3y}·\frac{y}{2x^{3}}$；（2）$\frac{ax}{3b^{3}y^{2}}÷2ay$；
（3）$-3xy÷\frac{2y^{2}}{3x}$；（4）$(-\frac{2}{x})^{2}·\frac{x}{4}$；
（5）$\frac{x + 3}{(x + 1)(x - 1)}·\frac{x + 1}{x(x + 3)}$；（6）$\frac{a - 2}{a^{2} - 9}·\frac{2a + 6}{a - 2}$；

（7）$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4x + 4}÷\frac{x - 2}{x - 1}$；（8）$\frac{1 - a^{2}}{a^{2} + 2a + 1}÷\frac{1 - a}{a}$.

解：
（1）$\frac{4x}{3y}·\frac{y}{2x^{3}}=\frac{4x·y}{3y·2x^3}=\frac{2}{3x^2}$
（2）$\frac{ax}{3b^{3}y^{2}}÷2ay=\frac{ax}{3b^3y^2}·\frac{1}{2ay}=\frac{ax}{6ab^3y^3}=\frac{x}{6b^3y^3}$
（3）$-3xy÷\frac{2y^{2}}{3x}=-3xy·\frac{3x}{2y^2}=\frac{-9x^2y}{2y^2}=-\frac{9x^2}{2y}$
（4）$(-\frac{2}{x})^{2}·\frac{x}{4}=\frac{4}{x^2}·\frac{x}{4}=\frac{4x}{4x^2}=\frac{1}{x}$
（5）$\frac{x + 3}{(x + 1)(x - 1)}·\frac{x + 1}{x(x + 3)}=\frac{(x+3)(x+1)}{x(x+3)(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x(x-1)}$
（6）$\frac{a - 2}{a^{2} - 9}·\frac{2a + 6}{a - 2}=\frac{a-2}{(a-3)(a+3)}·\frac{2(a+3)}{a-2}=\frac{2(a-2)(a+3)}{(a-3)(a+3)(a-2)}=\frac{2}{a-3}$
（7）$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4x + 4}÷\frac{x - 2}{x - 1}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2}·\frac{x-1}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)(x-1)}{(x+2)^2(x-2)}=\frac{x-1}{x+2}$
（8）$\frac{1 - a^{2}}{a^{2} + 2a + 1}÷\frac{1 - a}{a}=\frac{(1-a)(1+a)}{(a+1)^2}·\frac{a}{1-a}=\frac{(1-a)(1+a)·a}{(a+1)^2(1-a)}=\frac{a}{a+1}$

6. 先化简，再求值：$\frac{x^{2} - 6xy + 9y^{2}}{x^{2} - 9y^{2}}÷\frac{2x - 6y}{x^{2} + 3xy}$，其中$x = 3$，$y = -\frac{1}{10}$.

解：
原式$=\frac{(x-3y)^2}{(x+3y)(x-3y)} ÷ \frac{2(x-3y)}{x(x+3y)}$
$=\frac{(x-3y)^2}{(x+3y)(x-3y)} × \frac{x(x+3y)}{2(x-3y)}$
$=\frac{x}{2}$
当$x=3$，$y=-\frac{1}{10}$时，
原式$=\frac{3}{2}$

7. 若分式$\frac{m}{m^{2} - 2m + 1}$除以$\frac{m^{2}}{m^{2} - m}$的商是整数，求整数$m$的值.

解：
$\frac{m}{m^2 - 2m + 1} ÷ \frac{m^2}{m^2 - m}$
$=\frac{m}{(m-1)^2} × \frac{m(m-1)}{m^2}$
$=\frac{1}{m-1}$
根据题意，$\frac{1}{m-1}$为整数，且分式有意义需满足：
$m^2 - 2m + 1 ≠ 0$，$m^2 ≠ 0$，$m^2 - m ≠ 0$，
解得$m ≠ 0$且$m ≠ 1$。
因为$\frac{1}{m-1}$是整数，$m$为整数，所以$m-1$是1的整数约数，即$m-1 = \pm1$。
当$m-1=1$时，$m=2$，符合条件；
当$m-1=-1$时，$m=0$，不符合$m ≠ 0$的条件，舍去。
综上，整数$m$的值为2。