4. 对于正数 $ x $，规定 $ f(x) = \frac{x}{x + 1}$，例如：$ f(3) = \frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}$，则式子 $ f(\frac{1}{2026}) + f(\frac{1}{2025}) + f(\frac{1}{2024}) + ··· + f(\frac{1}{2}) + f(1) + f(2) + ··· + f(2024) + f(2025) + f(2026)$ 的值为。

$\frac{4051}{2}$

先计算$f(x)+f(\frac{1}{x})$的值：
因为$f(x)=\frac{x}{x+1}$，所以$f(\frac{1}{x})=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{1}{x+1}$，则$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=1$。
将原式分组：
$[f(\frac{1}{2026})+f(2026)] + [f(\frac{1}{2025})+f(2025)] + \dots + [f(\frac{1}{2})+f(2)] + f(1)$
其中共有2025组和为1的式子，且$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，
因此原式的值为$2025×1 + \frac{1}{2}=\frac{4051}{2}$。

三、解答题
5. 证明：$\frac{n + 1}{n} - \frac{n + 2}{n + 1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$。

证明：
左边=$\frac{n + 1}{n} - \frac{n + 2}{n + 1}$
=$\frac{(n + 1)^2 - n(n + 2)}{n(n + 1)}$
=$\frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{n(n + 1)}$
=$\frac{1}{n(n + 1)}$
右边=$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$
=$\frac{n + 1 - n}{n(n + 1)}$
=$\frac{1}{n(n + 1)}$
∵左边=右边
∴$\frac{n + 1}{n} - \frac{n + 2}{n + 1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$成立。

6. 已知 $ b ＞ a ＞ 0 $。
(1)若 $ A = a^2 + 2b $，$ B = 2b - 1 $，则 $ A $$ B $(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)。
(2)分式 $\frac{a}{b}$ 的分子和分母都加 $ 1 $，所得的分式 $\frac{a + 1}{b + 1}$ 的值增大了还是减小了？为什么？
(3)已知 $ b\ g $ 糖水中有 $ a\ g $ 糖，往糖水中加入 $ c\ g $ 糖($ c ＞ 0 $)，(假设全部溶解)糖水更甜了。请将此事表示为一个不等式，并证明该不等式成立。

解：(1)
∵ $ A - B = (a^2 + 2b) - (2b - 1) = a^2 + 1 $，
又∵ $ a ＞ 0 $，∴ $ a^2 ＞ 0 $，∴ $ a^2 + 1 ＞ 0 $，
即 $ A - B ＞ 0 $，∴ $ A ＞ B $。
(2) 所得分式的值增大了，理由如下：
∵ $\frac{a}{b} - \frac{a+1}{b+1} = \frac{a(b+1) - b(a+1)}{b(b+1)} = \frac{ab + a - ab - b}{b(b+1)} = \frac{a - b}{b(b+1)}$，
又∵ $ b ＞ a ＞ 0 $，∴ $ a - b ＜ 0 $，$ b(b+1) ＞ 0 $，
∴ $\frac{a - b}{b(b+1)} ＜ 0$，即 $\frac{a}{b} ＜ \frac{a+1}{b+1}$，
故所得分式的值增大了。
(3) 不等式为：$\frac{a}{b} ＜ \frac{a+c}{b+c}$（$ b＞a＞0 $，$ c＞0 $）。
证明：
$\frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+c) - a(b+c)}{b(b+c)} = \frac{ab + bc - ab - ac}{b(b+c)} = \frac{c(b - a)}{b(b+c)}$，
∵ $ b＞a＞0 $，$ c＞0 $，
∴ $ b - a ＞ 0 $，$ c(b - a) ＞ 0 $，$ b(b+c) ＞ 0 $，
∴ $\frac{c(b - a)}{b(b+c)} ＞ 0$，即 $\frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} ＞ 0$，
∴ $\frac{a}{b} ＜ \frac{a+c}{b+c}$。

7. 甲、乙两人去同一家超市购买大米各两次，甲每次购买 $ 10\ kg $ 的大米，乙每次购买 $ 50 $ 元的大米，这两人第一次购买大米时售价为 $ m $ 元/kg，第二次购买大米时售价为 $ n $ 元/kg($ m ≠ n $)，解答：
(1)甲两次购买的总费用是 元；
(2)乙两次购买的平均单价是 元；
(3)请你判断谁的购买方式更合算，并加以说明。

解：
(1) 甲第一次购买费用为$10m$元，第二次购买费用为$10n$元，
总费用为$10m + 10n = 10(m+n)$元。
(2) 乙第一次购买大米的重量为$\frac{50}{m}\ kg$，第二次购买大米的重量为$\frac{50}{n}\ kg$，
总重量为$\frac{50}{m} + \frac{50}{n} = \frac{50(m+n)}{mn}\ kg$，总费用为$50+50=100$元，
平均单价为$100 ÷ \frac{50(m+n)}{mn} = \frac{2mn}{m+n}$元。
(3) 甲两次购买大米的平均单价为$\frac{10(m+n)}{10+10} = \frac{m+n}{2}$元。
比较甲、乙的平均单价：
$\frac{m+n}{2} - \frac{2mn}{m+n} = \frac{(m+n)^2 - 4mn}{2(m+n)} = \frac{m^2 + 2mn + n^2 - 4mn}{2(m+n)} = \frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$。
因为$m ≠ n$，所以$(m-n)^2 ＞ 0$，又$m ＞ 0$，$n ＞ 0$，则$2(m+n) ＞ 0$，
所以$\frac{(m-n)^2}{2(m+n)} ＞ 0$，即$\frac{m+n}{2} ＞ \frac{2mn}{m+n}$。
答：乙的购买方式更合算。

8. 小明每天上学都要经过一段平路、一段上坡路和一段下坡路，其中上坡路程是下坡路程的 $ 3 $ 倍，又知他走下坡路的速度是走上坡路的 $ 2 $ 倍。那么小明上学路上所用时间与放学回家路上所用时间()

A.上学所用时间少
B.放学回家路上所用时间少
C.同样多
D.无法确定

B

设下坡路程为$ s $，则上坡路程为$ 3s $；设上坡速度为$ v $，则下坡速度为$ 2v $，平路的时间上学与放学相同，无需比较。
1. 上学时上下坡总时间：$\frac{3s}{v} + \frac{s}{2v} = \frac{6s}{2v} + \frac{s}{2v} = \frac{7s}{2v}$
2. 放学时上下坡总时间：$\frac{s}{v} + \frac{3s}{2v} = \frac{2s}{2v} + \frac{3s}{2v} = \frac{5s}{2v}$
因为$\frac{7s}{2v} ＞ \frac{5s}{2v}$，所以放学回家路上所用时间少。

9. 设实数 $ a$，$b$，$c $ 满足条件 $ c ＜ 0 ＜ b ＜ a $，且 $ a + b + c = 1 $。设 $ M = \frac{b + c}{a}$，$N = \frac{a + c}{b}$，$P = \frac{a + b}{c}$，则 $ M$，$N$，$P $ 之间的大小关系是。(用“$ ＜ $”号连接)

$P ＜ M ＜ N$

1. 由 $a + b + c = 1$，可得：
$b + c = 1 - a$，$a + c = 1 - b$，$a + b = 1 - c$；
2. 将上述式子代入 $M$、$N$、$P$，拆分分式：
$M = \frac{1 - a}{a} = \frac{1}{a} - 1$，
$N = \frac{1 - b}{b} = \frac{1}{b} - 1$，
$P = \frac{1 - c}{c} = \frac{1}{c} - 1$；
3. 比较大小：
因为 $c ＜ 0$，所以 $\frac{1}{c} ＜ 0$，则 $P = \frac{1}{c} - 1 ＜ -1$；
因为 $a ＞ b ＞ 0$，所以 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$，两边减1得 $\frac{1}{a} - 1 ＜ \frac{1}{b} - 1$，即 $M ＜ N$；
由 $c ＜ 0$ 得 $a + b = 1 - c ＞ 1$，结合 $a ＞ b ＞ 0$，可知 $a ＞ \frac{1}{2}$：
若 $a ＞ 1$，则 $\frac{1}{a} - 1 ＞ -1$；若 $0 ＜ a ＜ 1$，则 $\frac{1}{a} - 1 ＞ 0$，即 $M ＞ -1$；
综上可得 $P ＜ M ＜ N$。