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活动一:比一比 说一说
1. 比较大小(填“＞”“＜”或“=”):
(1) $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\_\_\_\_\_\_\frac{5}{6}$;(2) $(2x + 1)^2 - 1\_\_\_\_\_\_4x^2 + 4x$;(3) $x^2 + 1\_\_\_\_\_\_2x$.
2. 请你说说如何比较两个整式的大小.
1. 比较大小(填“＞”“＜”或“=”):
(1) $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\_\_\_\_\_\_\frac{5}{6}$;(2) $(2x + 1)^2 - 1\_\_\_\_\_\_4x^2 + 4x$;(3) $x^2 + 1\_\_\_\_\_\_2x$.
2. 请你说说如何比较两个整式的大小.
答案
1. (1) = (2) = (3) ≥ 2. 两个整式作差,与0进行大小比较. 两个整式A,B,若A - B ＞ 0,则A ＞ B;若A - B = 0,则A = B;若A - B ＜ 0,则A ＜ B
解析
【解析】
1. (1) 计算左边：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$，故$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$；
(2) 展开左边整式：$(2x + 1)^2 - 1=4x^2+4x+1-1=4x^2+4x$，故$(2x + 1)^2 - 1=4x^2 + 4x$；
(3) 用作差法：$x^2 + 1 - 2x=(x-1)^2$，由于$(x-1)^2≥0$，所以$x^2 + 1≥2x$；
2. 比较两个整式大小可采用作差法：设两个整式为A、B，计算A与B的差，若$A-B＞0$，则$A＞B$；若$A-B=0$，则$A=B$；若$A-B＜0$，则$A＜B$。
【答案】
1. (1) = (2) = (3) ≥
2. 两个整式作差，与0进行大小比较。两个整式A,B,若A - B ＞ 0,则A ＞ B;若A - B = 0,则A = B;若A - B ＜ 0,则A ＜ B
【知识点】
分式加减运算、完全平方公式、作差法比较大小
【点评】
本题结合分式运算与整式变形，重点考察作差法比较大小的方法，既巩固了代数运算能力，又帮助理解比较大小的逻辑思路，适合夯实基础。
【难度系数】
0.7
1. (1) 计算左边：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$，故$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$；
(2) 展开左边整式：$(2x + 1)^2 - 1=4x^2+4x+1-1=4x^2+4x$，故$(2x + 1)^2 - 1=4x^2 + 4x$；
(3) 用作差法：$x^2 + 1 - 2x=(x-1)^2$，由于$(x-1)^2≥0$，所以$x^2 + 1≥2x$；
2. 比较两个整式大小可采用作差法：设两个整式为A、B，计算A与B的差，若$A-B＞0$，则$A＞B$；若$A-B=0$，则$A=B$；若$A-B＜0$，则$A＜B$。
【答案】
1. (1) = (2) = (3) ≥
2. 两个整式作差，与0进行大小比较。两个整式A,B,若A - B ＞ 0,则A ＞ B;若A - B = 0,则A = B;若A - B ＜ 0,则A ＜ B
【知识点】
分式加减运算、完全平方公式、作差法比较大小
【点评】
本题结合分式运算与整式变形，重点考察作差法比较大小的方法，既巩固了代数运算能力，又帮助理解比较大小的逻辑思路，适合夯实基础。
【难度系数】
0.7
1. 完成课本第 134 至第 135 页的例 4、例 5.
答案
例4
题目：计算$\frac{1}{x - 2}+\frac{2}{x + 2}$
作答：
原式$=\frac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)}+\frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{x + 2+2x - 4}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{3x - 2}{x^{2}-4}$
例5
题目：计算$\frac{a}{a - 1}-\frac{3a - 1}{a^{2}+3a - 4}$
作答：
先对$a^{2}+3a - 4$因式分解得$a^{2}+3a - 4=(a - 1)(a + 4)$
原式$=\frac{a(a + 4)}{(a - 1)(a + 4)}-\frac{3a - 1}{(a - 1)(a + 4)}$
$=\frac{a(a + 4)-(3a - 1)}{(a - 1)(a + 4)}$
$=\frac{a^{2}+4a - 3a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
$=\frac{a^{2}+a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
题目：计算$\frac{1}{x - 2}+\frac{2}{x + 2}$
作答：
原式$=\frac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)}+\frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{x + 2+2x - 4}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{3x - 2}{x^{2}-4}$
例5
题目：计算$\frac{a}{a - 1}-\frac{3a - 1}{a^{2}+3a - 4}$
作答：
先对$a^{2}+3a - 4$因式分解得$a^{2}+3a - 4=(a - 1)(a + 4)$
原式$=\frac{a(a + 4)}{(a - 1)(a + 4)}-\frac{3a - 1}{(a - 1)(a + 4)}$
$=\frac{a(a + 4)-(3a - 1)}{(a - 1)(a + 4)}$
$=\frac{a^{2}+4a - 3a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
$=\frac{a^{2}+a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
解析
【解析】
例4
题目：计算$\frac{1}{x - 2}+\frac{2}{x + 2}$
解题步骤：
1. 确定最简公分母为$(x-2)(x+2)$，对两项通分：
原式$=\frac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)}+\frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
2. 合并分子：
$=\frac{x + 2+2x - 4}{(x + 2)(x - 2)}$
3. 化简分子并整理分母：
$=\frac{3x - 2}{x^{2}-4}$
例5
题目：计算$\frac{a}{a - 1}-\frac{3a - 1}{a^{2}+3a - 4}$
解题步骤：
1. 对分母$a^{2}+3a - 4$因式分解：$a^{2}+3a - 4=(a - 1)(a + 4)$
2. 确定最简公分母为$(a-1)(a+4)$，通分：
原式$=\frac{a(a + 4)}{(a - 1)(a + 4)}-\frac{3a - 1}{(a - 1)(a + 4)}$
3. 合并分子并去括号：
$=\frac{a(a + 4)-(3a - 1)}{(a - 1)(a + 4)}$
$=\frac{a^{2}+4a - 3a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
4. 化简分子：
$=\frac{a^{2}+a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
【答案】
例4：$\frac{3x - 2}{x^{2}-4}$；
例5：$\frac{a^{2}+a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解
【点评】
本题考查分式的加减运算，核心是通过因式分解确定最简公分母后进行通分计算，运算过程中需注意符号规则和整式运算的准确性，是分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.6
例4
题目：计算$\frac{1}{x - 2}+\frac{2}{x + 2}$
解题步骤：
1. 确定最简公分母为$(x-2)(x+2)$，对两项通分：
原式$=\frac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)}+\frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
2. 合并分子：
$=\frac{x + 2+2x - 4}{(x + 2)(x - 2)}$
3. 化简分子并整理分母：
$=\frac{3x - 2}{x^{2}-4}$
例5
题目：计算$\frac{a}{a - 1}-\frac{3a - 1}{a^{2}+3a - 4}$
解题步骤：
1. 对分母$a^{2}+3a - 4$因式分解：$a^{2}+3a - 4=(a - 1)(a + 4)$
2. 确定最简公分母为$(a-1)(a+4)$，通分：
原式$=\frac{a(a + 4)}{(a - 1)(a + 4)}-\frac{3a - 1}{(a - 1)(a + 4)}$
3. 合并分子并去括号：
$=\frac{a(a + 4)-(3a - 1)}{(a - 1)(a + 4)}$
$=\frac{a^{2}+4a - 3a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
4. 化简分子：
$=\frac{a^{2}+a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
【答案】
例4：$\frac{3x - 2}{x^{2}-4}$；
例5：$\frac{a^{2}+a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解
【点评】
本题考查分式的加减运算，核心是通过因式分解确定最简公分母后进行通分计算，运算过程中需注意符号规则和整式运算的准确性，是分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.6
2. 请你说说如何比较分式的大小.
答案
答题格式如下：
比较分式大小的方法主要有以下几种：
1. 同分母分式：当两个分式的分母相同，比较分子的大小，分子大的分式较大，即若$\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c}$（其中$c＞0$）当且仅当$a ＞ b$。
2. 同分子分式：当两个分式的分子相同，分母小的分式较大，即若$\frac{a}{b} ＞ \frac{a}{c}$（其中$a＞0$）当且仅当$b ＜ c$。
3. 差值法：比较两个分式$ \frac{a}{b} $与$ \frac{c}{d} $的大小，可以通过计算其差：若$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} ＞ 0$（其中$bd＞0$），则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}$。
4. 商值法：对于两个正分式$ \frac{a}{b} $和$ \frac{c}{d} $，可以通过计算其商：若$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a · d}{b · c} ＞ 1$，则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}$。
5. 通分法：将两个分式的分母化为相同，然后比较分子的大小。
比较分式大小的方法主要有以下几种：
1. 同分母分式：当两个分式的分母相同，比较分子的大小，分子大的分式较大，即若$\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c}$（其中$c＞0$）当且仅当$a ＞ b$。
2. 同分子分式：当两个分式的分子相同，分母小的分式较大，即若$\frac{a}{b} ＞ \frac{a}{c}$（其中$a＞0$）当且仅当$b ＜ c$。
3. 差值法：比较两个分式$ \frac{a}{b} $与$ \frac{c}{d} $的大小，可以通过计算其差：若$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} ＞ 0$（其中$bd＞0$），则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}$。
4. 商值法：对于两个正分式$ \frac{a}{b} $和$ \frac{c}{d} $，可以通过计算其商：若$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a · d}{b · c} ＞ 1$，则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}$。
5. 通分法：将两个分式的分母化为相同，然后比较分子的大小。
解析
【解析】
比较分式大小的方法主要有以下几种：
1. 同分母分式：当两个分式的分母相同，比较分子的大小，分子大的分式较大，即若$\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c}$（其中$c＞0$）当且仅当$a ＞ b$。
2. 同分子分式：当两个分式的分子相同，分母小的分式较大，即若$\frac{a}{b} ＞ \frac{a}{c}$（其中$a＞0$）当且仅当$b ＜ c$。
3. 差值法：比较两个分式$ \frac{a}{b} $与$ \frac{c}{d} $的大小，可以通过计算其差：若$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} ＞ 0$（其中$bd＞0$），则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}$。
4. 商值法：对于两个正分式$ \frac{a}{b} $和$ \frac{c}{d} $，可以通过计算其商：若$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a · d}{b · c} ＞ 1$，则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}$。
5. 通分法：将两个分式的分母化为相同，然后比较分子的大小。
【答案】
比较分式大小的方法主要有以下几种：
1. 同分母分式（$c＞0$）：分子大的分式大，即$\frac{a}{c}＞\frac{b}{c}$当且仅当$a＞b$；
2. 同分子分式（$a＞0$）：分母小的分式大，即$\frac{a}{b}＞\frac{a}{c}$当且仅当$b＜c$；
3. 差值法（$bd＞0$）：若$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}＞0$，则$\frac{a}{b}＞\frac{c}{d}$；
4. 商值法（正分式）：若$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}＞1$，则$\frac{a}{b}＞\frac{c}{d}$；
5. 通分法：化为同分母后比较分子大小。
【知识点】
分式大小比较、差值法、通分法
【点评】
本题考查分式大小比较的常用方法，需根据分式的不同形式灵活选择合适的方法，理解每种方法的适用条件是掌握此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
比较分式大小的方法主要有以下几种：
1. 同分母分式：当两个分式的分母相同，比较分子的大小，分子大的分式较大，即若$\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c}$（其中$c＞0$）当且仅当$a ＞ b$。
2. 同分子分式：当两个分式的分子相同，分母小的分式较大，即若$\frac{a}{b} ＞ \frac{a}{c}$（其中$a＞0$）当且仅当$b ＜ c$。
3. 差值法：比较两个分式$ \frac{a}{b} $与$ \frac{c}{d} $的大小，可以通过计算其差：若$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} ＞ 0$（其中$bd＞0$），则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}$。
4. 商值法：对于两个正分式$ \frac{a}{b} $和$ \frac{c}{d} $，可以通过计算其商：若$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a · d}{b · c} ＞ 1$，则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}$。
5. 通分法：将两个分式的分母化为相同，然后比较分子的大小。
【答案】
比较分式大小的方法主要有以下几种：
1. 同分母分式（$c＞0$）：分子大的分式大，即$\frac{a}{c}＞\frac{b}{c}$当且仅当$a＞b$；
2. 同分子分式（$a＞0$）：分母小的分式大，即$\frac{a}{b}＞\frac{a}{c}$当且仅当$b＜c$；
3. 差值法（$bd＞0$）：若$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}＞0$，则$\frac{a}{b}＞\frac{c}{d}$；
4. 商值法（正分式）：若$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}＞1$，则$\frac{a}{b}＞\frac{c}{d}$；
5. 通分法：化为同分母后比较分子大小。
【知识点】
分式大小比较、差值法、通分法
【点评】
本题考查分式大小比较的常用方法，需根据分式的不同形式灵活选择合适的方法，理解每种方法的适用条件是掌握此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
1. 填空:
(1) 已知 $a ＞ b ＞ 0$,则 $\frac{b}{a}\_\_\_\_\_\_\frac{b + 1}{a + 1}$.(填“＞”“＜”或“=”)
(2) 若 $a ＞ 0$,$M = \frac{a + 2}{a + 3}$,$N = \frac{a + 3}{a + 4}$,则 $M\_\_\_\_\_\_N$.(填“＞”“＜”或“=”)
(1) 已知 $a ＞ b ＞ 0$,则 $\frac{b}{a}\_\_\_\_\_\_\frac{b + 1}{a + 1}$.(填“＞”“＜”或“=”)
(2) 若 $a ＞ 0$,$M = \frac{a + 2}{a + 3}$,$N = \frac{a + 3}{a + 4}$,则 $M\_\_\_\_\_\_N$.(填“＞”“＜”或“=”)
答案
1. (1) ＜ (2) ＜
解析
【解析】
(1) 用作差法比较大小：
$\begin{aligned}\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1}&=\frac{b(a+1)-a(b+1)}{a(a+1)}\\&=\frac{ab + b - ab - a}{a(a+1)}\\&=\frac{b - a}{a(a+1)}\end{aligned}$
因为$a＞b＞0$，所以$b - a＜0$，$a(a+1)＞0$，则$\frac{b - a}{a(a+1)}＜0$，故$\frac{b}{a}＜\frac{b+1}{a+1}$。
(2) 用作差法比较大小：
$\begin{aligned}M - N&=\frac{a+2}{a+3} - \frac{a+3}{a+4}\\&=\frac{(a+2)(a+4)-(a+3)^2}{(a+3)(a+4)}\\&=\frac{a^2+6a+8 - (a^2+6a+9)}{(a+3)(a+4)}\\&=\frac{-1}{(a+3)(a+4)}\end{aligned}$
因为$a＞0$，所以$(a+3)(a+4)＞0$，则$\frac{-1}{(a+3)(a+4)}＜0$，故$M＜N$。
【答案】
(1) ＜ (2) ＜
【知识点】
分式大小比较，作差法比较大小
【点评】
本题考查分式的大小比较，通过作差法将分式大小比较转化为对差的符号判断，需熟练掌握作差法的步骤及分式符号的分析方法。
【难度系数】
0.6
(1) 用作差法比较大小：
$\begin{aligned}\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1}&=\frac{b(a+1)-a(b+1)}{a(a+1)}\\&=\frac{ab + b - ab - a}{a(a+1)}\\&=\frac{b - a}{a(a+1)}\end{aligned}$
因为$a＞b＞0$，所以$b - a＜0$，$a(a+1)＞0$，则$\frac{b - a}{a(a+1)}＜0$，故$\frac{b}{a}＜\frac{b+1}{a+1}$。
(2) 用作差法比较大小：
$\begin{aligned}M - N&=\frac{a+2}{a+3} - \frac{a+3}{a+4}\\&=\frac{(a+2)(a+4)-(a+3)^2}{(a+3)(a+4)}\\&=\frac{a^2+6a+8 - (a^2+6a+9)}{(a+3)(a+4)}\\&=\frac{-1}{(a+3)(a+4)}\end{aligned}$
因为$a＞0$，所以$(a+3)(a+4)＞0$，则$\frac{-1}{(a+3)(a+4)}＜0$，故$M＜N$。
【答案】
(1) ＜ (2) ＜
【知识点】
分式大小比较，作差法比较大小
【点评】
本题考查分式的大小比较，通过作差法将分式大小比较转化为对差的符号判断，需熟练掌握作差法的步骤及分式符号的分析方法。
【难度系数】
0.6
2. 对于 $M = \frac{x + 2}{2}$,$N = \frac{4x}{x + 2}$,嘉嘉和淇淇给出如下结论:淇淇认为,当 $x = 2$ 时,$M = N$;嘉嘉认为,当 $x ＞ 0$ 时,$M - N ＞ 0$. 下列说法正确的是 (
A.淇淇错,嘉嘉对
B.淇淇对,嘉嘉错
C.淇淇、嘉嘉都对
D.淇淇、嘉嘉都不对
B
)A.淇淇错,嘉嘉对
B.淇淇对,嘉嘉错
C.淇淇、嘉嘉都对
D.淇淇、嘉嘉都不对
答案
2. B
解析
【解析】
1. 验证淇淇的结论：
当$x=2$时，$M=\frac{2+2}{2}=2$，$N=\frac{4×2}{2+2}=2$，故$M=N$，淇淇的结论正确。
2. 验证嘉嘉的结论：
计算$M-N$：
$M-N=\frac{x+2}{2}-\frac{4x}{x+2}=\frac{(x+2)^2-8x}{2(x+2)}=\frac{x^2+4x+4-8x}{2(x+2)}=\frac{(x-2)^2}{2(x+2)}$。
当$x＞0$时，分母$2(x+2)＞0$，分子$(x-2)^2≥0$，当$x=2$时，$M-N=0$，并非$M-N＞0$恒成立，故嘉嘉的结论错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的运算，代数式比较大小
【点评】
本题考查分式的化简与求值，通过代入求值和作差法比较大小，需注意平方数的非负性对结果的影响。
【难度系数】
0.6
1. 验证淇淇的结论：
当$x=2$时，$M=\frac{2+2}{2}=2$，$N=\frac{4×2}{2+2}=2$，故$M=N$，淇淇的结论正确。
2. 验证嘉嘉的结论：
计算$M-N$：
$M-N=\frac{x+2}{2}-\frac{4x}{x+2}=\frac{(x+2)^2-8x}{2(x+2)}=\frac{x^2+4x+4-8x}{2(x+2)}=\frac{(x-2)^2}{2(x+2)}$。
当$x＞0$时，分母$2(x+2)＞0$，分子$(x-2)^2≥0$，当$x=2$时，$M-N=0$，并非$M-N＞0$恒成立，故嘉嘉的结论错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的运算，代数式比较大小
【点评】
本题考查分式的化简与求值，通过代入求值和作差法比较大小，需注意平方数的非负性对结果的影响。
【难度系数】
0.6
3. 小明每天上学都要先后经过一段上坡路和一段下坡路,其中上坡路程是下坡路程的 3 倍,又知他走下坡路的速度是走上坡路的 2 倍. 下列关于小明上学路上所用时间与放学回家路上所用时间的说法正确的是 (
A.上学所用时间少
B.放学回家路上所用时间少
C.同样多
D.无法确定
B
)A.上学所用时间少
B.放学回家路上所用时间少
C.同样多
D.无法确定
答案
3. B
解析
【解析】
设下坡路程为$ s $，则上坡路程为$ 3s $；设上坡速度为$ v $，则下坡速度为$ 2v $。
1. 上学时间：先上坡后下坡，$ t_{上}=\frac{3s}{v}+\frac{s}{2v}=\frac{6s+s}{2v}=\frac{7s}{2v} $。
2. 放学时间：原上坡变下坡，原下坡变上坡，$ t_{放}=\frac{s}{v}+\frac{3s}{2v}=\frac{2s+3s}{2v}=\frac{5s}{2v} $。
因为$ \frac{7s}{2v}＞\frac{5s}{2v} $，所以放学回家路上所用时间少。
【答案】
B
【知识点】
行程问题基本公式、代数式比较大小
【点评】
本题通过设未知数构建代数式，利用行程问题中时间=路程÷速度的公式，分别计算上学和放学的时间并比较大小，考查对行程公式的灵活运用，关键是明确往返时上下坡路程的转换。
【难度系数】
0.7
设下坡路程为$ s $，则上坡路程为$ 3s $；设上坡速度为$ v $，则下坡速度为$ 2v $。
1. 上学时间：先上坡后下坡，$ t_{上}=\frac{3s}{v}+\frac{s}{2v}=\frac{6s+s}{2v}=\frac{7s}{2v} $。
2. 放学时间：原上坡变下坡，原下坡变上坡，$ t_{放}=\frac{s}{v}+\frac{3s}{2v}=\frac{2s+3s}{2v}=\frac{5s}{2v} $。
因为$ \frac{7s}{2v}＞\frac{5s}{2v} $，所以放学回家路上所用时间少。
【答案】
B
【知识点】
行程问题基本公式、代数式比较大小
【点评】
本题通过设未知数构建代数式，利用行程问题中时间=路程÷速度的公式，分别计算上学和放学的时间并比较大小，考查对行程公式的灵活运用，关键是明确往返时上下坡路程的转换。
【难度系数】
0.7
