3. 计算:
(1) $\frac{a}{a - b}-\frac{b}{a - b}$；
(2) $\frac{3}{x}+\frac{y}{xy + x}$；
(3) $\frac{x}{x^{2}-4}-\frac{1}{2x - 4}$；
(4) $\frac{3x}{(x - 3)^{2}}-\frac{x}{3 - x}$.

【检测反馈】 3. (1) 1 (2)$\frac{4y + 3}{x(y + 1)}$ (3)$\frac{1}{2x + 4}$ (4)$\frac{x^{2}}{(x - 3)^{2}}$

【解析】
(1) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$\frac{a}{a - b}-\frac{b}{a - b}=\frac{a - b}{a - b}=1$；
(2) 先对第二个分式分母因式分解：$xy+x=x(y+1)$，通分后公分母为$x(y+1)$，将第一个分式变形后计算：
$\frac{3}{x}+\frac{y}{x(y+1)}=\frac{3(y+1)}{x(y+1)}+\frac{y}{x(y+1)}=\frac{3y+3+y}{x(y+1)}=\frac{4y + 3}{x(y + 1)}$；
(3) 分解分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$2x-4=2(x-2)$，确定公分母为$2(x+2)(x-2)$，通分后计算并约分：
$\frac{x}{(x+2)(x-2)}-\frac{1}{2(x-2)}=\frac{2x}{2(x+2)(x-2)}-\frac{x+2}{2(x+2)(x-2)}=\frac{2x-(x+2)}{2(x+2)(x-2)}=\frac{x-2}{2(x+2)(x-2)}=\frac{1}{2x+4}$；
(4) 将第二个分式变形处理符号：$\frac{x}{3-x}=-\frac{x}{x-3}$，通分后公分母为$(x-3)^2$，再计算：
$\frac{3x}{(x-3)^2}+\frac{x}{x-3}=\frac{3x}{(x-3)^2}+\frac{x(x-3)}{(x-3)^2}=\frac{3x+x^2-3x}{(x-3)^2}=\frac{x^2}{(x-3)^2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{4y + 3}{x(y + 1)}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2x + 4}}$；(4) $\boldsymbol{\frac{x^{2}}{(x - 3)^{2}}}$
【知识点】
分式加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式的加减运算，需熟练掌握同分母、异分母分式的加减法则，运算时先通过因式分解确定公分母，注意符号的正确处理，最后要将结果约分为最简分式。
【难度系数】
0.6

4. 观察下列等式:$1×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$2×\frac{2}{3}=2-\frac{2}{3}$，$3×\frac{3}{4}=3-\frac{3}{4}$，…
(1) 猜想并写出第$n$个等式；
(2) 证明你写出的等式的正确性.

【检测反馈】 4. (1)$n·\frac{n}{n + 1}=n - \frac{n}{n + 1}$ (2) 略

【解析】
(1) 观察已知等式：第1个等式为$1×\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{1+1}$，第2个等式为$2×\frac{2}{2+1}=2-\frac{2}{2+1}$，第3个等式为$3×\frac{3}{3+1}=3-\frac{3}{3+1}$，以此类推，可猜想第$n$个等式为$n·\frac{n}{n + 1}=n - \frac{n}{n + 1}$。
(2) 证明：
右边$=n - \frac{n}{n + 1}=\frac{n(n + 1)}{n + 1}-\frac{n}{n + 1}=\frac{n(n + 1)-n}{n + 1}=\frac{n^2 + n - n}{n + 1}=\frac{n^2}{n + 1}$，
左边$=n·\frac{n}{n + 1}=\frac{n^2}{n + 1}$，
左边=右边，故等式成立。
【答案】
(1)$n·\frac{n}{n + 1}=n - \frac{n}{n + 1}$；
(2) 证明见解析。
【知识点】
数字规律探究、分式的运算、等式的证明
【点评】
本题通过观察具体等式归纳一般性规律，考查学生的观察归纳能力与分式运算能力，证明过程需掌握分式通分技巧，题型基础，有助于提升规律探究与运算素养。
【难度系数】
0.8

1. $\frac{x^{2}}{y - x}-\frac{y^{2}}{y - x}$的化简结果是()

A.$-x - y$
B.$y - x$
C.$x - y$
D.$x + y$

【迁移运用】 1. A

【解析】
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式=$\frac{x^2 - y^2}{y - x}$
利用平方差公式分解分子：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，代入得：
$\frac{(x+y)(x-y)}{y - x}=\frac{(x+y)(x-y)}{-(x-y)}$
约分后得：$-(x+y)=-x - y$
【答案】
A
【知识点】
分式减法运算、平方差公式
【点评】
本题考查分式的化简，核心是掌握同分母分式的减法法则，结合平方差公式分解因式后约分，注意符号的正确处理，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 已知$a + b = 5$，$ab = 3$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$.

【迁移运用】 2.$\frac{5}{3}$

【解析】
先对原式通分变形：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$
将$a + b = 5$，$ab = 3$整体代入上式，得：
$\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
分式的加减运算、整体代入求值
【点评】
本题考查分式的通分变形及整体代入思想的运用，属于基础题，熟练掌握分式运算法则即可求解。
【难度系数】
0.8

3. 已知$\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{A}{x + 1}+\frac{B}{x - 1}$($A$，$B$是常数)，则$A=$，$B=$.

【迁移运用】 3. 2 -1

【解析】
首先对等式右边通分：
$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
展开分子得：$A(x-1)+B(x+1)=(A+B)x+(B-A)$
由于等式左右两边分母相同，分子对应相等，因此可得方程组：
$\begin{cases}A+B=1\\B-A=-3\end{cases}$
解方程组：
两式相加得$2B=-2$，解得$B=-1$；
将$B=-1$代入$A+B=1$，得$A-1=1$，解得$A=2$。
【答案】
2；-1
【知识点】
分式通分，二元一次方程组求解
【点评】
本题考查分式的恒等变形，通过通分将等式化为同分母分式，再利用分子系数对应相等建立方程组求解，需熟练掌握分式通分与二元一次方程组的解法。
【难度系数】
0.6

4. 计算:
(1) $\frac{2}{x^{2}}-\frac{3}{x^{3}}$；
(2) $\frac{a^{2}}{(a - b)^{2}}-\frac{b^{2}}{(b - a)^{2}}$；
(3) $\frac{1}{x - 3}+\frac{1 - x}{6 + 2x}-\frac{6}{x^{2}-9}$；
(4) $\frac{1}{1 + x}+\frac{1}{1 - x}+\frac{2}{1 + x^{2}}+\frac{4}{1 + x^{4}}$.

【迁移运用】 4. (1)$\frac{2x - 3}{x^{3}}$ (2)$\frac{a + b}{a - b}$ (3)$-\frac{x - 3}{2x + 6}$ (4)$\frac{8}{1 - x^{8}}$

【解析】
1. 根据平方的性质，$(b - a)^2=(a - b)^2$，将原式化为同分母分式：
$\frac{a^{2}}{(a - b)^{2}}-\frac{b^{2}}{(a - b)^{2}}$
2. 依据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$\frac{a^2 - b^2}{(a - b)^2}$
3. 分子利用平方差公式因式分解：$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，代入得：
$\frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^2}$
4. 约去分子分母的公因式$(a - b)$（$a≠ b$），化简得：
$\frac{a + b}{a - b}$
【答案】
$\frac{a + b}{a - b}$
【知识点】
分式减法运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题需先将异分母分式转化为同分母分式，再结合分式运算法则和因式分解计算，注意约分的前提是分子分母有公因式，同时要保证分母不为零。
【难度系数】
0.7