4. 比较 $\frac{a + b}{2}$与 $\frac{2ab}{a + b}$的大小(其中 $b ＞ a ＞ 0$).

4. $\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{a^{2}+2ab + b^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}$.
∵ b ＞ a ＞ 0,
∴ a + b ＞ 0, (a - b)^{2} ＞ 0.
∴ $\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}＞0$,
∴ $\frac{a + b}{2}＞\frac{2ab}{a + b}$

【解析】
$\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{a^{2}+2ab + b^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}$
∵ $b ＞ a ＞ 0$，
∴ $a + b ＞ 0$，$(a - b)^{2} ＞ 0$，
∴ $\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}＞0$，
∴ $\frac{a + b}{2}＞\frac{2ab}{a + b}$
【答案】
$\frac{a + b}{2}＞\frac{2ab}{a + b}$
【知识点】
作差法比较大小、分式化简、完全平方公式
【点评】
本题考查利用作差法比较两个分式的大小，核心是通过通分和完全平方公式化简差式，结合已知条件判断差的正负来确定式子大小关系，属于基础代数题型。
【难度系数】
0.7

5. 观察下列等式:$\frac{1}{1×2}=1 - \frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$.
(1) 根据上述算式猜想:$\frac{1}{m(m + 1)}$=. 证明你的猜想.
(2) 将以上三个等式两边分别相加得:
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}=1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
根据以上推理,计算 $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}$=.

5. (1) $\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}$. $\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}=\frac{m + 1 - m}{m(m + 1)}=\frac{1}{m(m + 1)}$ (2) $\frac{2025}{2026}$

【解析】
(1) 猜想：$\frac{1}{m(m + 1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}$。
证明：$\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}=\frac{(m + 1)-m}{m(m + 1)}=\frac{1}{m(m + 1)}$，与左边相等，猜想成立。
(2) 利用裂项相消法计算：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}$
$=1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1 - \frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$
【答案】
(1) $\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}$；证明见解析
(2) $\frac{2025}{2026}$
【知识点】
分式裂项相消，分式通分化简
【点评】
本题通过观察等式归纳裂项公式，再用裂项相消法简化求和运算，考查归纳推理能力与分式运算能力，规律应用明确，易于理解。
【难度系数】
0.7

1. 一条笔直的公路依次经过 A,B,C 三地,甲、乙分别同时从 A,B 地出发到 C 地,A 地与 B 地的距离为 100 m,B 地与 C 地的距离为 200 m,设甲的速度为 $a$ m/min,乙的速度为 $b$ m/min,且 $3b ＞ 2a$,那么 ()

A.甲先到
B.乙先到
C.两人同时到
D.无法确定谁先到

1. B

【解析】
甲从A到C的总路程为 $100 + 200 = 300$ m，根据“时间=路程÷速度”，甲到达C地的时间为 $\frac{300}{a}$ min；
乙从B到C的路程为200 m，乙到达C地的时间为 $\frac{200}{b}$ min。
比较两人时间的大小，作差得：
$\frac{300}{a} - \frac{200}{b} = \frac{300b - 200a}{ab} = \frac{100(3b - 2a)}{ab}$
因为速度 $a＞0$，$b＞0$，且 $3b＞2a$，所以 $3b-2a＞0$，$ab＞0$，则 $\frac{100(3b - 2a)}{ab} ＞ 0$，即 $\frac{300}{a} ＞ \frac{200}{b}$。
说明甲用的时间比乙长，故乙先到C地。
【答案】
B
【知识点】
行程问题、作差法比较大小、分式运算
【点评】
本题结合行程问题考查分式的应用与作差法比较大小，核心是根据路程、速度、时间的关系表示出两人的到达时间，再利用已知条件判断时间长短，解题关键是掌握作差法比较两个正数大小的方法。
【难度系数】
0.6

2. 甲、乙两人两次同时在一家加油站加油,这两次加油时某种汽油的价格分别为每升 $a$ 元和 $b$ 元($a ≠ b$). 甲每次加 40 L 汽油,乙每次加 200 元汽油.
(1) 若甲两次加油的平均单价为每升 $Q_1$ 元,乙两次加油的平均单价为每升 $Q_2$ 元,则 $Q_1$=,$Q_2$=.
(2) 请比较甲、乙两人的平均单价,判断谁加的汽油更便宜,并说明理由.

2. (1) $Q_{1}=\frac{a + b}{2}$ $Q_{2}=\frac{2ab}{a + b}$ (2) $Q_{1}-Q_{2}=\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}$.
∵ a ≠ b,
∴ (a - b)^{2} ＞ 0. 由题意可知a ＞ 0, b ＞ 0
∴ a + b ＞ 0
∴ $Q_{1}-Q_{2}＞0$
∴ $Q_{1}＞Q_{2}$
∴ 乙的平均单价更便宜

【解析】
(1) 甲两次加油的总费用为$40a + 40b$元，总油量为$40 + 40 = 80$L，根据平均单价=总费用÷总油量，可得$Q_1=\frac{40a + 40b}{80}=\frac{a + b}{2}$；
乙两次加油的总油量为$\frac{200}{a} + \frac{200}{b}$L，总费用为$200 + 200 = 400$元，同理可得$Q_2=\frac{400}{\frac{200}{a} + \frac{200}{b}}=\frac{2ab}{a + b}$。
(2) 用作差法比较$Q_1$与$Q_2$的大小：
$Q_1 - Q_2 = \frac{a + b}{2} - \frac{2ab}{a + b} = \frac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)} = \frac{(a - b)^2}{2(a + b)}$，
因为$a≠b$，所以$(a - b)^2 ＞ 0$，又因为$a$、$b$是汽油单价，故$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则$a + b ＞ 0$，
所以$\frac{(a - b)^2}{2(a + b)} ＞ 0$，即$Q_1 - Q_2 ＞ 0$，$Q_1 ＞ Q_2$，因此乙加的汽油更便宜。
【答案】
(1) $\frac{a + b}{2}$；$\frac{2ab}{a + b}$
(2) 乙加的汽油更便宜，理由见解析。
【知识点】
分式的化简求值；作差法比较大小；平均数计算
【点评】
本题考查分式在实际问题中的应用，核心是通过计算平均单价，利用作差法比较大小，需熟练掌握分式通分变形及正数的性质，提升实际问题的数学建模能力。
【难度系数】
0.6