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13. 如图，在方格图中添加一个小正方形，可以使其构成立方体的展开图，那么这个小正方形可以是
③⑤⑥⑦
.(填序号)答案
13. ③⑤⑥⑦
解析
【解析】
根据正方体展开图的特征，正方体展开图不能出现“田”字格、“凹”字形等不符合要求的结构。添加①或②时，所得图形无法构成正方体展开图；添加③、⑤、⑥、⑦时，均可形成符合要求的正方体展开图，因此符合条件的是③⑤⑥⑦。
【答案】
③⑤⑥⑦
【知识点】
正方体展开图的特征
【点评】
本题考查对正方体展开图特征的掌握，需熟悉正方体展开图的基本类型，具备一定的空间想象能力，避免误判错误结构的图形。
【难度系数】
0.6
根据正方体展开图的特征，正方体展开图不能出现“田”字格、“凹”字形等不符合要求的结构。添加①或②时，所得图形无法构成正方体展开图；添加③、⑤、⑥、⑦时，均可形成符合要求的正方体展开图，因此符合条件的是③⑤⑥⑦。
【答案】
③⑤⑥⑦
【知识点】
正方体展开图的特征
【点评】
本题考查对正方体展开图特征的掌握，需熟悉正方体展开图的基本类型，具备一定的空间想象能力，避免误判错误结构的图形。
【难度系数】
0.6
14. 如图，长方体底面相邻边的边长分别是$5\mathrm{cm}$和$7\mathrm{cm}$，高为$20\mathrm{cm}$，小明同学用一根细线从点$A$开始经过$4$个侧面缠绕一圈到达点$B$（点$B$为棱的中点），求小明所用的细线的最短长度.
答案
14. 解:将长方体展开,连结 AB.
根据两点之间线段最短,
可得 $ A B = \sqrt { ( \frac { 20 } { 2 } ) ^ { 2 } + ( 5 + 7 + 5 + 7 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 676 } = 26 ( \mathrm { cm } ) $.
解析
【解析】
将长方体的四个侧面展开，连接AB，根据两点之间线段最短，此时AB的长度即为细线的最短长度。
展开后，水平方向的总长度为$5+7+5+7=24\mathrm{cm}$，竖直方向的长度为$\frac{20}{2}=10\mathrm{cm}$。
根据勾股定理，可得：
$AB=\sqrt{(\frac{20}{2})^2+(5+7+5+7)^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{676}=26(\mathrm{cm})$。
【答案】
$\boldsymbol{26\mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理，立体图形展开图
【点评】
本题通过将立体图形展开为平面图形，借助“两点之间线段最短”和勾股定理求解最短路径，考查了转化思想的应用，是立体图形与平面图形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
将长方体的四个侧面展开，连接AB，根据两点之间线段最短，此时AB的长度即为细线的最短长度。
展开后，水平方向的总长度为$5+7+5+7=24\mathrm{cm}$，竖直方向的长度为$\frac{20}{2}=10\mathrm{cm}$。
根据勾股定理，可得：
$AB=\sqrt{(\frac{20}{2})^2+(5+7+5+7)^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{676}=26(\mathrm{cm})$。
【答案】
$\boldsymbol{26\mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理，立体图形展开图
【点评】
本题通过将立体图形展开为平面图形，借助“两点之间线段最短”和勾股定理求解最短路径，考查了转化思想的应用，是立体图形与平面图形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
15. 如图是飞行棋的一颗骰子，每个面上分别有代表数$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$的点，根据$A$，$B$，$C$三种状态所显示的数字推出“?”处的数字是
6
.答案
15. 6
解析
【解析】
观察A、B两种状态，可知与1点相邻的面有3点、4点、5点；根据正方体相对面不相邻的性质，可推出1点的相对面是6点。
结合C的状态，“？”所在的面与4点、5点的面相邻，该面为1点的相对面，因此“？”处的数字是6。
【答案】
6
【知识点】
正方体相对面判断
【点评】
本题考查正方体相对面的推理，需借助相邻面不相对的性质，考查空间想象能力。
【难度系数】
0.3
观察A、B两种状态，可知与1点相邻的面有3点、4点、5点；根据正方体相对面不相邻的性质，可推出1点的相对面是6点。
结合C的状态，“？”所在的面与4点、5点的面相邻，该面为1点的相对面，因此“？”处的数字是6。
【答案】
6
【知识点】
正方体相对面判断
【点评】
本题考查正方体相对面的推理，需借助相邻面不相对的性质，考查空间想象能力。
【难度系数】
0.3
16. 如图，已知一个长方体的长为$5\mathrm{cm}$，宽为$3\mathrm{cm}$，高为$4\mathrm{cm}$，一只蚂蚁从点$A$绕长方体的表面爬行到点$B$，求蚂蚁爬行的最短距离.
答案
16. 解:如图①所示,蚂蚁爬行的路径 $ A B = \sqrt { 5 ^ { 2 } + ( 3 + 4 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 74 } ( \mathrm { cm } ) $；
如图②所示,蚂蚁爬行的路径 $ A B = \sqrt { 3 ^ { 2 } + ( 5 + 4 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 90 } ( \mathrm { cm } ) $；
如图③所示,蚂蚁爬行的路径 $ A B = \sqrt { 4 ^ { 2 } + ( 5 + 3 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 80 } ( \mathrm { cm } ) $.
∴蚂蚁从顶点 A 沿长方体的表面爬行到顶点 B 的最短距离是 $ \sqrt { 74 } \mathrm { cm } $.
解析
【解析】
要确定蚂蚁从点A到点B的最短爬行距离，需将长方体表面展开为平面图形，利用勾股定理计算不同展开方式下AB的长度，再比较大小：
1. 将长所在侧面与宽高所在侧面展开，此时$AB = \sqrt{5^2 + (3+4)^2} = \sqrt{74}\ (\mathrm{cm})$；
2. 将宽所在侧面与长高所在侧面展开，此时$AB = \sqrt{3^2 + (5+4)^2} = \sqrt{90}\ (\mathrm{cm})$；
3. 将高所在侧面与长宽所在侧面展开，此时$AB = \sqrt{4^2 + (5+3)^2} = \sqrt{80}\ (\mathrm{cm})$；
因为$\sqrt{74} ＜ \sqrt{80} ＜ \sqrt{90}$，所以蚂蚁爬行的最短距离为$\sqrt{74}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{74}\mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理，立体图形表面最短路径
【点评】
解决立体图形表面的最短路径问题，需将立体图形展开为平面图形，借助勾股定理计算路径长度，要考虑所有可能的展开方式，通过比较得到最短距离。
【难度系数】
0.6
要确定蚂蚁从点A到点B的最短爬行距离，需将长方体表面展开为平面图形，利用勾股定理计算不同展开方式下AB的长度，再比较大小：
1. 将长所在侧面与宽高所在侧面展开，此时$AB = \sqrt{5^2 + (3+4)^2} = \sqrt{74}\ (\mathrm{cm})$；
2. 将宽所在侧面与长高所在侧面展开，此时$AB = \sqrt{3^2 + (5+4)^2} = \sqrt{90}\ (\mathrm{cm})$；
3. 将高所在侧面与长宽所在侧面展开，此时$AB = \sqrt{4^2 + (5+3)^2} = \sqrt{80}\ (\mathrm{cm})$；
因为$\sqrt{74} ＜ \sqrt{80} ＜ \sqrt{90}$，所以蚂蚁爬行的最短距离为$\sqrt{74}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{74}\mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理，立体图形表面最短路径
【点评】
解决立体图形表面的最短路径问题，需将立体图形展开为平面图形，借助勾股定理计算路径长度，要考虑所有可能的展开方式，通过比较得到最短距离。
【难度系数】
0.6
