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21. 某金属支架如图所示，已知$AB$长为4 m，$C$为$AB$的中点，点$B$到点$D$的距离比立柱$CD$的长小0.5 m，$∠ BCD = 60^{\circ}$. 求立柱$CD$的长.
答案
解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，连接BD
∵AB=4m，C为AB的中点
∴BC=2m
∵∠BCD=60°
∴$BE=\mathrm {sin}60°×BC=\sqrt 3$，$CE=\mathrm {cos}60°×BC=1$
设DE=x
CD=x+1，BD=x+1-0.5=x+0.5
∵$BE^2+DE^2=BD^2$
∴$x^2+(\sqrt 3)^2=(x+0.5)^2$
x=2.75
CD=x+1=3.75m
解析
【解析】
过点$B$作$BE⊥CD$于点$E$，连接$BD$。
1. 由$AB=4\ \mathrm{m}$，$C$为$AB$的中点，可得$BC=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ BCD=60°$，根据三角函数定义：
$BE=\sin60°× BC=\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$CE=\cos60°× BC=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{m}$。
3. 设$DE=x\ \mathrm{m}$，则$CD=(x+1)\ \mathrm{m}$，由题意得$BD=CD-0.5=(x+0.5)\ \mathrm{m}$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，根据勾股定理$BE^2+DE^2=BD^2$，代入得：
$x^2+(\sqrt{3})^2=(x+0.5)^2$，
展开并整理得：$x^2+3=x^2+x+0.25$，
解得$x=2.75$。
5. 因此$CD=x+1=2.75+1=3.75\ \mathrm{m}$。
【答案】
$3.75\ \mathrm{m}$
【知识点】
直角三角形性质、三角函数应用、勾股定理
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，综合考查了三角函数与勾股定理的应用，关键是合理利用已知条件建立等量关系。
过点$B$作$BE⊥CD$于点$E$，连接$BD$。
1. 由$AB=4\ \mathrm{m}$，$C$为$AB$的中点，可得$BC=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ BCD=60°$，根据三角函数定义：
$BE=\sin60°× BC=\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$CE=\cos60°× BC=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{m}$。
3. 设$DE=x\ \mathrm{m}$，则$CD=(x+1)\ \mathrm{m}$，由题意得$BD=CD-0.5=(x+0.5)\ \mathrm{m}$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，根据勾股定理$BE^2+DE^2=BD^2$，代入得：
$x^2+(\sqrt{3})^2=(x+0.5)^2$，
展开并整理得：$x^2+3=x^2+x+0.25$，
解得$x=2.75$。
5. 因此$CD=x+1=2.75+1=3.75\ \mathrm{m}$。
【答案】
$3.75\ \mathrm{m}$
【知识点】
直角三角形性质、三角函数应用、勾股定理
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，综合考查了三角函数与勾股定理的应用，关键是合理利用已知条件建立等量关系。
22. 如图，为了估测旗杆的高度，小莉(不计身高)在楼$CD$的楼顶点$C$处观察旗杆的顶端$A$和底端$B$，测得顶端$A$的仰角为$26.6^{\circ}$，底端$B$的俯角为$37^{\circ}$. 已知旗杆底端到楼底端的距离$BD = 20$ m，图中的点$A$、$B$、$C$、$D$在同一平面内，求旗杆的高度. (精确到1 m；参考数据$\sin 26.6^{\circ} \approx 0.45$，$\tan 26.6^{\circ} \approx 0.50$，$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$)
答案
解：过点C作CE⊥AB于点E
∵BD=20m
∴CE=20m
$AE=\mathrm {tan}26.6° ×CE≈10m$，
$BE=\mathrm {tan}37°×BE≈15m$
AB=AE+BE=25m
答：旗杆的高度约为25m。
解析
【解析】
过点$ C $作$ CE ⊥ AB $于点$ E $，
因为$ CD ⊥ BD $，$ AB ⊥ BD $，$ CE ⊥ AB $，所以四边形$ CDBE $是矩形，可得$ CE = BD = 20\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ACE $中，$ ∠ ACE = 26.6^{\circ} $，由$ \tan∠ ACE = \frac{AE}{CE} $，得：
$ AE = CE · \tan26.6^{\circ} \approx 20 × 0.50 = 10\ \mathrm{m} $；
在$ \mathrm{Rt}△ BCE $中，$ ∠ BCE = 37^{\circ} $，由$ \tan∠ BCE = \frac{BE}{CE} $，得：
$ BE = CE · \tan37^{\circ} \approx 20 × 0.75 = 15\ \mathrm{m} $；
则旗杆的高度$ AB = AE + BE = 10 + 15 = 25\ \mathrm{m} $。
【答案】
旗杆的高度约为$\boldsymbol{25}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题；矩形的判定与性质
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将实际测量问题转化为解直角三角形问题，熟练掌握仰角、俯角的定义及正切函数的应用是解题的核心。
过点$ C $作$ CE ⊥ AB $于点$ E $，
因为$ CD ⊥ BD $，$ AB ⊥ BD $，$ CE ⊥ AB $，所以四边形$ CDBE $是矩形，可得$ CE = BD = 20\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ACE $中，$ ∠ ACE = 26.6^{\circ} $，由$ \tan∠ ACE = \frac{AE}{CE} $，得：
$ AE = CE · \tan26.6^{\circ} \approx 20 × 0.50 = 10\ \mathrm{m} $；
在$ \mathrm{Rt}△ BCE $中，$ ∠ BCE = 37^{\circ} $，由$ \tan∠ BCE = \frac{BE}{CE} $，得：
$ BE = CE · \tan37^{\circ} \approx 20 × 0.75 = 15\ \mathrm{m} $；
则旗杆的高度$ AB = AE + BE = 10 + 15 = 25\ \mathrm{m} $。
【答案】
旗杆的高度约为$\boldsymbol{25}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题；矩形的判定与性质
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将实际测量问题转化为解直角三角形问题，熟练掌握仰角、俯角的定义及正切函数的应用是解题的核心。
