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23. 如图，在$□ ABCD$中，过点$A$作$AE ⊥ BC$，垂足为$E$，连接$DE$，$F$为线段$DE$上的一点，且$∠ AFE = ∠ B$.
(1) $△ ADF$与$△ DEC$相似吗？请说明理由；
(2) 若$AB = 8$，$AD = 6\sqrt{3}$，$AF = 4\sqrt{3}$，求$AE$的长.
(1) $△ ADF$与$△ DEC$相似吗？请说明理由；
(2) 若$AB = 8$，$AD = 6\sqrt{3}$，$AF = 4\sqrt{3}$，求$AE$的长.
答案
解：(1)△ADF∽△DEC
∵四边形ABDC是平行四边形
∴AB//CD，AD//BC
∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=180°-∠AFE=180°-∠B=∠C
∴△ADF∽△DEC
(2)∵△ADF∽△DEC
∴$\frac {AD}{AF}=\frac {DE}{DC}$
∵$AD=6\sqrt 3$，$AF=4\sqrt 3$，DC=AB=8
∴DE=12
∴$AE=\sqrt {DE^2-AD^2}=6$
∵四边形ABDC是平行四边形
∴AB//CD，AD//BC
∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=180°-∠AFE=180°-∠B=∠C
∴△ADF∽△DEC
(2)∵△ADF∽△DEC
∴$\frac {AD}{AF}=\frac {DE}{DC}$
∵$AD=6\sqrt 3$，$AF=4\sqrt 3$，DC=AB=8
∴DE=12
∴$AE=\sqrt {DE^2-AD^2}=6$
解析
【解析】
(1) $△ ADF ∽ △ DEC$，理由如下：
∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$AB// CD$，$AD// BC$
∴$∠ ADF = ∠ DEC$，$∠ B + ∠ C = 180°$
又
∵$∠ AFE = ∠ B$，$∠ AFD + ∠ AFE = 180°$
∴$∠ AFD = 180° - ∠ AFE = 180° - ∠ B = ∠ C$
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ADF ∽ △ DEC$
(2)
∵$△ ADF ∽ △ DEC$
∴$\frac{AD}{DE} = \frac{AF}{DC}$
已知$AD = 6\sqrt{3}$，$AF = 4\sqrt{3}$，$DC = AB = 8$，代入得：
$\frac{6\sqrt{3}}{DE} = \frac{4\sqrt{3}}{8}$，解得$DE = 12$
∵$AE ⊥ BC$，$AD// BC$，
∴$AE ⊥ AD$，即$△ ADE$是直角三角形
根据勾股定理：$AE = \sqrt{DE^2 - AD^2} = \sqrt{12^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 - 108} = \sqrt{36} = 6$
【答案】
(1) $△ ADF$与$△ DEC$相似，理由见解析；
(2) $AE$的长为$\boldsymbol{6}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形性质、相似三角形判定与性质及勾股定理，需熟练掌握相关定理，理清角与边的关系，逐步推导求解。
(1) $△ ADF ∽ △ DEC$，理由如下：
∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$AB// CD$，$AD// BC$
∴$∠ ADF = ∠ DEC$，$∠ B + ∠ C = 180°$
又
∵$∠ AFE = ∠ B$，$∠ AFD + ∠ AFE = 180°$
∴$∠ AFD = 180° - ∠ AFE = 180° - ∠ B = ∠ C$
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ADF ∽ △ DEC$
(2)
∵$△ ADF ∽ △ DEC$
∴$\frac{AD}{DE} = \frac{AF}{DC}$
已知$AD = 6\sqrt{3}$，$AF = 4\sqrt{3}$，$DC = AB = 8$，代入得：
$\frac{6\sqrt{3}}{DE} = \frac{4\sqrt{3}}{8}$，解得$DE = 12$
∵$AE ⊥ BC$，$AD// BC$，
∴$AE ⊥ AD$，即$△ ADE$是直角三角形
根据勾股定理：$AE = \sqrt{DE^2 - AD^2} = \sqrt{12^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 - 108} = \sqrt{36} = 6$
【答案】
(1) $△ ADF$与$△ DEC$相似，理由见解析；
(2) $AE$的长为$\boldsymbol{6}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形性质、相似三角形判定与性质及勾股定理，需熟练掌握相关定理，理清角与边的关系，逐步推导求解。
24. 如图，函数$y = x - 3$的图像分别交$x$轴、$y$轴于点$A$、$B$，点$C$的坐标为$(-1,0)$. 一条抛物线经过$A$、$B$、$C$三点.
(1) 求抛物线相应的函数表达式；
(2) 设$D$是线段$AB$上的动点，过点$D$作$y$轴的平行线交抛物线于点$E$，求线段$DE$长度的最大值.
(1) 求抛物线相应的函数表达式；
(2) 设$D$是线段$AB$上的动点，过点$D$作$y$轴的平行线交抛物线于点$E$，求线段$DE$长度的最大值.
答案
解：(1)由y=x-3得A(3，0)、B(0，-3)
∵抛物线经过点(3，0)、(-1，0)
∴设抛物线为y=a(x-3)(x+1)
将点C(0，-3)代入得a=1
∴抛物线的函数表达式为y=(x-3)(x+1)，
即$y=x^2-2x-3$
(2)设点D坐标为(m，m-3)，
则点E坐标为(m，$\mathrm {m^2}-2m-3)$
$DE=m-3-(\mathrm {m^2}-2m-3)=-\mathrm {m^2}+3m=-(m-\frac 32)^2+\frac 94$
∴DE的长度最大值为$\frac 94$
∵抛物线经过点(3，0)、(-1，0)
∴设抛物线为y=a(x-3)(x+1)
将点C(0，-3)代入得a=1
∴抛物线的函数表达式为y=(x-3)(x+1)，
即$y=x^2-2x-3$
(2)设点D坐标为(m，m-3)，
则点E坐标为(m，$\mathrm {m^2}-2m-3)$
$DE=m-3-(\mathrm {m^2}-2m-3)=-\mathrm {m^2}+3m=-(m-\frac 32)^2+\frac 94$
∴DE的长度最大值为$\frac 94$
解析
【解析】
(1) 对于直线$y=x-3$，令$y=0$，解得$x=3$，得$A(3,0)$；令$x=0$，解得$y=-3$，得$B(0,-3)$。
因为抛物线过$A(3,0)$、$C(-1,0)$，设抛物线的交点式为$y=a(x-3)(x+1)$，将$B(0,-3)$代入得：
$-3=a(0-3)(0+1)$，解得$a=1$，
则抛物线的函数表达式为$y=(x-3)(x+1)$，展开得$y=x^2-2x-3$。
(2) 设点$D$的坐标为$(m, m-3)$（$D$在直线$AB$上），因为$DE// y$轴，所以点$E$的横坐标为$m$，将$x=m$代入抛物线表达式得$E(m, m^2-2m-3)$。
计算$DE$的长度：
$DE=(m-3)-(m^2-2m-3)=-m^2+3m=-(m-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$。
因为二次项系数$-1＜0$，所以当$m=\frac{3}{2}$时，$DE$取得最大值$\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{9}{4}}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的最值
3. 一次函数交点坐标求解
【点评】
本题融合了一次函数与二次函数的知识，通过待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质求解线段长度的最大值，需熟练掌握二次函数交点式的应用及最值的求解方法，体现了函数在几何最值问题中的应用。
(1) 对于直线$y=x-3$，令$y=0$，解得$x=3$，得$A(3,0)$；令$x=0$，解得$y=-3$，得$B(0,-3)$。
因为抛物线过$A(3,0)$、$C(-1,0)$，设抛物线的交点式为$y=a(x-3)(x+1)$，将$B(0,-3)$代入得：
$-3=a(0-3)(0+1)$，解得$a=1$，
则抛物线的函数表达式为$y=(x-3)(x+1)$，展开得$y=x^2-2x-3$。
(2) 设点$D$的坐标为$(m, m-3)$（$D$在直线$AB$上），因为$DE// y$轴，所以点$E$的横坐标为$m$，将$x=m$代入抛物线表达式得$E(m, m^2-2m-3)$。
计算$DE$的长度：
$DE=(m-3)-(m^2-2m-3)=-m^2+3m=-(m-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$。
因为二次项系数$-1＜0$，所以当$m=\frac{3}{2}$时，$DE$取得最大值$\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{9}{4}}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的最值
3. 一次函数交点坐标求解
【点评】
本题融合了一次函数与二次函数的知识，通过待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质求解线段长度的最大值，需熟练掌握二次函数交点式的应用及最值的求解方法，体现了函数在几何最值问题中的应用。
