登录
5. 如图，正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 的边长为 $1$，将正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 的各边顺次延长 $1$ 倍，连接四个端点得到正方形 $A_2B_2C_2D_2$；重复操作得到正方形 $A_3B_3C_3D_3$……求正方形 $A_nB_nC_nD_n$ 的面积。
答案
解：设正方形A_nB_nC_nD_n的边长为a_n
则$a_n^2=a^2_{n-1}+(2a_{n-1})^2=5a^2_{n-1}$
∵$a^2_1=1$
∴$a_{2}^2=5$，$a_{3}^2=5^2$，$a_{4}^2=5^3···$
∴$a^2_n=5^{n-1}$，即正方形A_nB_nC_nD_n的面积是$5^{n-1}$
则$a_n^2=a^2_{n-1}+(2a_{n-1})^2=5a^2_{n-1}$
∵$a^2_1=1$
∴$a_{2}^2=5$，$a_{3}^2=5^2$，$a_{4}^2=5^3···$
∴$a^2_n=5^{n-1}$，即正方形A_nB_nC_nD_n的面积是$5^{n-1}$
解析
【解析】
设正方形$A_nB_nC_nD_n$的边长为$a_n$，其面积为$S_n=a_n^2$。
根据勾股定理可得：
$a_n^2=a_{n-1}^2+(2a_{n-1})^2=5a_{n-1}^2$，即$S_n=5S_{n-1}$。
已知正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长为1，故$S_1=1^2=1$。
由此可得：
$S_2=5S_1=5$，
$S_3=5S_2=5^2$，
$S_4=5S_3=5^3$，
以此类推，正方形$A_nB_nC_nD_n$的面积$S_n=5^{n-1}$。
【答案】
$5^{n-1}$
【知识点】
勾股定理，规律探究，正方形面积公式
【点评】
本题借助勾股定理建立相邻正方形边长的数量关系，推导面积的递推规律，考查归纳推理能力，需熟练运用勾股定理与正方形面积公式。
设正方形$A_nB_nC_nD_n$的边长为$a_n$，其面积为$S_n=a_n^2$。
根据勾股定理可得：
$a_n^2=a_{n-1}^2+(2a_{n-1})^2=5a_{n-1}^2$，即$S_n=5S_{n-1}$。
已知正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长为1，故$S_1=1^2=1$。
由此可得：
$S_2=5S_1=5$，
$S_3=5S_2=5^2$，
$S_4=5S_3=5^3$，
以此类推，正方形$A_nB_nC_nD_n$的面积$S_n=5^{n-1}$。
【答案】
$5^{n-1}$
【知识点】
勾股定理，规律探究，正方形面积公式
【点评】
本题借助勾股定理建立相邻正方形边长的数量关系，推导面积的递推规律，考查归纳推理能力，需熟练运用勾股定理与正方形面积公式。
6. 如图，将边长为 $1$ 的正方形纸片 $ABCD$ 折叠，使点 $A$ 落在边 $CD$ 上的点 $M$ 处，折痕 $EF$ 分别交 $AD$、$BC$ 于点 $E$、$F$，边 $AB$ 折叠后交边 $BC$ 于点 $G$。
（1）若 $M$ 是 $CD$ 的中点，计算 $CM + CG + MG$。
（2）若 $DM = \frac{1}{3}CD$，计算 $CM + CG + MG$。
（3）若 $M$ 是边 $CD$ 上任意一点，你有什么猜想？证明你的猜想。
（1）若 $M$ 是 $CD$ 的中点，计算 $CM + CG + MG$。
（2）若 $DM = \frac{1}{3}CD$，计算 $CM + CG + MG$。
（3）若 $M$ 是边 $CD$ 上任意一点，你有什么猜想？证明你的猜想。
答案
解：(1)由题意得∠EMB=∠A=90°，EM=AE
∴△DME∽△CGM，$DM+DE+EM=\frac 12+1=\frac 32$
设DE=x，由$DE^2+DM^2=EM^2$
得$x^2+(\frac 12)^2=(1-x)^2$
解得$x=\frac 38$
∴$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {\frac 12}{\frac 38}=\frac 43$
∴$CM+CG+MG=\frac 32×\frac 43=2$
$(2)DM+DE+EM=\frac 13+1=\frac 43$
设DE=y，由$DE^2+DM^2=EM^2$
得$y^2+(\frac 13)^2=(1-y)^2$，解得$y=\frac 49$
∴$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {\frac 23}{\frac 49}=\frac 32$
∴$CM+CG+MG=\frac 43×\frac 32=2$
(3)猜想点M在CD边上，CM+CG+MG=2总成立
证明：设DM=a，DE=b，则DM+DE+EN=1+a
由$DE^2+DM^2=EM^2$，得$a^2+b^2=(1-b)^2$，即$1-a^2=2b$
∴$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {1-a}b$
∴$CM+CG+MG=(1+a) · \frac {1-a}b=\frac {1-a^2}b=\frac {2b}b=2$，猜想得证
∴△DME∽△CGM，$DM+DE+EM=\frac 12+1=\frac 32$
设DE=x，由$DE^2+DM^2=EM^2$
得$x^2+(\frac 12)^2=(1-x)^2$
解得$x=\frac 38$
∴$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {\frac 12}{\frac 38}=\frac 43$
∴$CM+CG+MG=\frac 32×\frac 43=2$
$(2)DM+DE+EM=\frac 13+1=\frac 43$
设DE=y，由$DE^2+DM^2=EM^2$
得$y^2+(\frac 13)^2=(1-y)^2$，解得$y=\frac 49$
∴$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {\frac 23}{\frac 49}=\frac 32$
∴$CM+CG+MG=\frac 43×\frac 32=2$
(3)猜想点M在CD边上，CM+CG+MG=2总成立
证明：设DM=a，DE=b，则DM+DE+EN=1+a
由$DE^2+DM^2=EM^2$，得$a^2+b^2=(1-b)^2$，即$1-a^2=2b$
∴$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {1-a}b$
∴$CM+CG+MG=(1+a) · \frac {1-a}b=\frac {1-a^2}b=\frac {2b}b=2$，猜想得证
解析
【解析】
(1) 由折叠性质得$∠ EMB'=∠ A=90°$，$EM=AE$，结合$∠ D=∠ C=90°$，可证$△ DME ∽ △ CGM$。
已知正方形边长为1，M是CD中点，故$DM=CM=\frac{1}{2}$。设$DE=x$，则$EM=AE=1-x$，在$Rt△ DME$中，由勾股定理得：
$x^2+(\frac{1}{2})^2=(1-x)^2$，
解得$x=\frac{3}{8}$。
由相似三角形性质$\frac{CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac{MC}{DE}$，代入$DM+DE+EM=\frac{3}{2}$，得：
$CM+CG+MG=\frac{3}{2}×\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{8}}=2$。
(2) 已知$DM=\frac{1}{3}CD$，正方形边长为1，故$DM=\frac{1}{3}$，$CM=\frac{2}{3}$。设$DE=y$，则$EM=AE=1-y$，在$Rt△ DME$中，由勾股定理得：
$y^2+(\frac{1}{3})^2=(1-y)^2$，
解得$y=\frac{4}{9}$。
同理由$△ DME ∽ △ CGM$，得$\frac{CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac{MC}{DE}$，代入$DM+DE+EM=\frac{4}{3}$，得：
$CM+CG+MG=\frac{4}{3}×\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}}=2$。
(3) 猜想：当M是CD边上任意一点时，$CM+CG+MG=2$总成立。
证明：设$DM=a$，$DE=b$，则$CM=1-a$，$EM=AE=1-b$。在$Rt△ DME$中，由勾股定理得$a^2+b^2=(1-b)^2$，整理得$1-a^2=2b$。
由$△ DME ∽ △ CGM$，得$\frac{CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac{MC}{DE}$，代入$DM+DE+EM=1+a$，得：
$CM+CG+MG=(1+a)·\frac{1-a}{b}=\frac{1-a^2}{b}=\frac{2b}{b}=2$，猜想成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；
(2) $\boldsymbol{2}$；
(3) 猜想：当M是CD边上任意一点时，$\boldsymbol{CM+CG+MG=2}$总成立，证明如上。
【知识点】
折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查折叠的性质、相似三角形与勾股定理的应用，通过设未知数构建方程，结合相似比例关系求解，体现了方程思想与转化思想，提升逻辑推理与运算能力。
(1) 由折叠性质得$∠ EMB'=∠ A=90°$，$EM=AE$，结合$∠ D=∠ C=90°$，可证$△ DME ∽ △ CGM$。
已知正方形边长为1，M是CD中点，故$DM=CM=\frac{1}{2}$。设$DE=x$，则$EM=AE=1-x$，在$Rt△ DME$中，由勾股定理得：
$x^2+(\frac{1}{2})^2=(1-x)^2$，
解得$x=\frac{3}{8}$。
由相似三角形性质$\frac{CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac{MC}{DE}$，代入$DM+DE+EM=\frac{3}{2}$，得：
$CM+CG+MG=\frac{3}{2}×\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{8}}=2$。
(2) 已知$DM=\frac{1}{3}CD$，正方形边长为1，故$DM=\frac{1}{3}$，$CM=\frac{2}{3}$。设$DE=y$，则$EM=AE=1-y$，在$Rt△ DME$中，由勾股定理得：
$y^2+(\frac{1}{3})^2=(1-y)^2$，
解得$y=\frac{4}{9}$。
同理由$△ DME ∽ △ CGM$，得$\frac{CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac{MC}{DE}$，代入$DM+DE+EM=\frac{4}{3}$，得：
$CM+CG+MG=\frac{4}{3}×\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}}=2$。
(3) 猜想：当M是CD边上任意一点时，$CM+CG+MG=2$总成立。
证明：设$DM=a$，$DE=b$，则$CM=1-a$，$EM=AE=1-b$。在$Rt△ DME$中，由勾股定理得$a^2+b^2=(1-b)^2$，整理得$1-a^2=2b$。
由$△ DME ∽ △ CGM$，得$\frac{CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac{MC}{DE}$，代入$DM+DE+EM=1+a$，得：
$CM+CG+MG=(1+a)·\frac{1-a}{b}=\frac{1-a^2}{b}=\frac{2b}{b}=2$，猜想成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；
(2) $\boldsymbol{2}$；
(3) 猜想：当M是CD边上任意一点时，$\boldsymbol{CM+CG+MG=2}$总成立，证明如上。
【知识点】
折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查折叠的性质、相似三角形与勾股定理的应用，通过设未知数构建方程，结合相似比例关系求解，体现了方程思想与转化思想，提升逻辑推理与运算能力。
