2. 观察下列各式：
$\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$，……
（1）请你举出 $1$ 个与上述式子类同的例子。
（2）通过观察你有什么猜想？试说明你的猜想是正确的。

解：$​(1)\sqrt {5+\frac {5}{24}}=\sqrt {\frac {125}{24}}=5\sqrt {\frac {5}{24}}​$
​(2)​猜想：$​\sqrt {n+\frac n{n^2-1}}=n\sqrt {\frac n{n^2-1}}(n​$为正整数)
证明：$​\sqrt {n+\frac n{n^2-1}}=\sqrt {\frac {n^3}{n^2-1}}=n\sqrt {\frac n{n^2-1}}$，​等式成立

【解析】
（1）根据已知式子的规律，选取整数5，可得例子：$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$；
（2）先观察式子中整数、分子、分母的关系，提出猜想：$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$（n为大于1的正整数），再进行证明：
$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，等式左右两边相等，故猜想成立。
【答案】
（1）$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$（答案不唯一）；
（2）猜想：$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$（n为大于1的正整数），证明如上，猜想成立。
【知识点】
二次根式化简、规律探究、分式运算
【点评】
本题通过观察特例归纳二次根式的变形规律，再利用代数运算验证猜想，既考查了规律探究能力，又巩固了二次根式的化简运算，有助于培养归纳推理的数学思维。

3. 比较下列各组根式的大小：
$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2} - 1$，$\sqrt{4} - \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$，$\sqrt{5} - \sqrt{4}$ 和 $\sqrt{4} - \sqrt{3}$。
从上面的比较大小中，你有什么发现和猜想？试说明你的猜想是正确的。

解：$​\sqrt 3-\sqrt 2＜\sqrt 2-1$，$​​\sqrt 4-\sqrt 3＜\sqrt 3-\sqrt 2$，$​​\sqrt 5-\sqrt 4＜\sqrt 4-\sqrt 3​$
猜想：$​\sqrt {n+1}-\sqrt n＜\sqrt n-\sqrt {n-1}(n​$是大于等于​1​的正整数​)​
证明：$​\sqrt {n+1}-\sqrt {n}=\frac {(\sqrt {n+1}-\sqrt n)(\sqrt {n+1}+\sqrt n)}{\sqrt {n+1}+\sqrt n}=\frac 1{\sqrt {n+1}+\sqrt n}​$
$​\sqrt n-\sqrt {n-1}=\frac {(\sqrt n-\sqrt {n-1})(\sqrt n+\sqrt {n-1})}{\sqrt n+\sqrt {n-1}}=\frac 1{\sqrt n+\sqrt {n-1}}​$
∵$​\sqrt {n+1}+\sqrt n＞\sqrt n+\sqrt {n-1}​$
∴$​\frac 1{\sqrt {n+1}+\sqrt n}＜\frac 1{\sqrt n+\sqrt {n-1}}​$
∴$​\sqrt {n+1}-\sqrt n＜\sqrt n-\sqrt {n-1}​$

【解析】
1. 比较各组根式大小：
$\sqrt{3}-\sqrt{2}＜\sqrt{2}-1$，$\sqrt{4}-\sqrt{3}＜\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\sqrt{5}-\sqrt{4}＜\sqrt{4}-\sqrt{3}$
2. 提出猜想：$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（$n$是大于等于1的正整数）
3. 证明猜想：
对$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$分母有理化：
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
对$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$分母有理化：
$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$
因为$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}＞\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$，根据分子相同，分母越大分数越小，可得：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}＜\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$，即$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$。
【答案】
$\sqrt{3}-\sqrt{2}＜\sqrt{2}-1$，$\sqrt{4}-\sqrt{3}＜\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\sqrt{5}-\sqrt{4}＜\sqrt{4}-\sqrt{3}$；
猜想：$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（$n$是大于等于1的正整数），该猜想成立。
【知识点】
分母有理化，二次根式大小比较，不等式基本性质
【点评】
本题通过特殊实例归纳一般性猜想，再用分母有理化严谨证明，渗透了从特殊到一般的数学思想，掌握分母有理化是解决此类二次根式大小比较问题的核心方法。

4. 已知 $a_{n + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{a_n}}(n = 1, 2, 3, ···, 2000)$，当 $a_1 = 1$ 时，计算 $a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_4 + ··· + a_{1999}a_{2000}$ 的值。

解：当$​a_{1}=1​$时，$​a_{2}=\frac 1{1+1}=\frac 12$，$​​a_{3}=\frac 1{1+2}=\frac 13···a_n=\frac 1{n}​$
∴$​a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{4}+···+a_{1999}a_{2000}​$
$​=1×\frac 12+\frac 12×\frac 13+\frac 13×\frac 14+···+\frac {1}{1999}×\frac {1}{2000}​$
$​=1-\frac 12+\frac 12-\frac 13+\frac 13-\frac 14+···+\frac {1}{1999}-\frac {1}{2000}​$
$​=1-\frac {1}{2000}​$
$​=\frac {1999}{2000}​$

【解析】
当$a_1=1$时，推导数列通项：
$a_2=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，$a_3=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，以此类推可得$a_n=\frac{1}{n}$。
计算求和式：
$a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_4 + ··· + a_{1999}a_{2000}$
$=1×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+···+\frac{1}{1999}×\frac{1}{2000}$
利用裂项相消法，$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，则：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+···+\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000}$
$=1-\frac{1}{2000}$
$=\frac{1999}{2000}$
【答案】
$\frac{1999}{2000}$
【知识点】
递推数列求通项、裂项相消法求和
【点评】
本题先通过递推关系归纳出数列通项公式，再利用裂项相消法简化求和，是数列典型题型，考察了归纳推理能力与裂项相消的运算技巧，需熟练掌握此类数列求和方法。