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7. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 $y = -x - 1$ 的图像和反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图像。
(1)在一次函数 $y = -x - 1$ 的图像上取点 $A_1$，点 $A_1$ 的横坐标 $a_1 = 2$，过点 $A_1$ 作 $x$ 轴的垂线交反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图像于点 $B_1$，过点 $B_1$ 作 $y$ 轴的垂线交一次函数 $y = -x - 1$ 的图像于点 $A_2$(点 $A_2$ 的横坐标为 $a_2$)……这样依次在一次函数 $y = -x - 1$ 的图像上得到点 $A_3$、$A_4$、$···$、$A_n$，则 $a_{98} =$，$a_{99} =$，$a_{100} =$。
(2)在第(1)小题操作中，点 $A_1$ 是一次函数 $y = -x - 1$ 的图像上的任一点(与 $y$ 轴交点除外)，设点 $A_1$ 的横坐标 $a_1 = k$，求点 $A_n$ 的横坐标 $a_n$。
(1)在一次函数 $y = -x - 1$ 的图像上取点 $A_1$，点 $A_1$ 的横坐标 $a_1 = 2$，过点 $A_1$ 作 $x$ 轴的垂线交反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图像于点 $B_1$，过点 $B_1$ 作 $y$ 轴的垂线交一次函数 $y = -x - 1$ 的图像于点 $A_2$(点 $A_2$ 的横坐标为 $a_2$)……这样依次在一次函数 $y = -x - 1$ 的图像上得到点 $A_3$、$A_4$、$···$、$A_n$，则 $a_{98} =$，$a_{99} =$，$a_{100} =$。
(2)在第(1)小题操作中，点 $A_1$ 是一次函数 $y = -x - 1$ 的图像上的任一点(与 $y$ 轴交点除外)，设点 $A_1$ 的横坐标 $a_1 = k$，求点 $A_n$ 的横坐标 $a_n$。
答案
$-\frac {3}{2}$
$-\frac {1}{3}$
2
解：(2)把x=k代入y=-x-1，得y=-k-1，
则$A_{1}$的坐标是(k，-k-1)；
把x=k代入$y=\frac 1x$得：$y=\frac 1k$，
则$B_{1}$的坐标是(k，$\frac 1k)$；
把$y=\frac 1k$代入y=-x-1得：$\frac 1k=-x-1$
解得：$x=-\frac {k+1}k$，即$A_{2}$的坐标是$(-\frac {k+1}k$，$\frac 1k)$；
把$x=-\frac {k+1}k$代入$y=\frac 1x$得：$y=-\frac {k}{k+1}$
则$B_{2}$的坐标是$(-\frac {k+1}k$，$-\frac {k}{k+1})$
把$y=-\frac {k}{k+1}$代入y=-x-1，得：$x=-\frac 1{k+1}$
即$A_{3}$的坐标是$(-\frac 1{k+1}$，$-\frac {k}{k+1})$；
把$x=-\frac 1{k+1}$代入$y=\frac 1x$得：y=-k-1
则$B_{3}$的坐标是$(-\frac 1{k+1}$，-k-1)
把y=k+1代入y=-x-1得x=k，则$A_{4}$的坐标是(k，-k-1)，即$A_{1}$
则点$A_{n}$的横坐标分别是：k，$-\frac {k+1}k$，$-\frac 1{k+1}$，···三个循环一次
$-\frac {1}{3}$
2
解：(2)把x=k代入y=-x-1，得y=-k-1，
则$A_{1}$的坐标是(k，-k-1)；
把x=k代入$y=\frac 1x$得：$y=\frac 1k$，
则$B_{1}$的坐标是(k，$\frac 1k)$；
把$y=\frac 1k$代入y=-x-1得：$\frac 1k=-x-1$
解得：$x=-\frac {k+1}k$，即$A_{2}$的坐标是$(-\frac {k+1}k$，$\frac 1k)$；
把$x=-\frac {k+1}k$代入$y=\frac 1x$得：$y=-\frac {k}{k+1}$
则$B_{2}$的坐标是$(-\frac {k+1}k$，$-\frac {k}{k+1})$
把$y=-\frac {k}{k+1}$代入y=-x-1，得：$x=-\frac 1{k+1}$
即$A_{3}$的坐标是$(-\frac 1{k+1}$，$-\frac {k}{k+1})$；
把$x=-\frac 1{k+1}$代入$y=\frac 1x$得：y=-k-1
则$B_{3}$的坐标是$(-\frac 1{k+1}$，-k-1)
把y=k+1代入y=-x-1得x=k，则$A_{4}$的坐标是(k，-k-1)，即$A_{1}$
则点$A_{n}$的横坐标分别是：k，$-\frac {k+1}k$，$-\frac 1{k+1}$，···三个循环一次
解析
【解析】
(1) 当$a_1=2$时：
将$a_1=2$代入$y=-x-1$，得$A_1(2,-3)$；
过$A_1$作$x$轴垂线交$y=\frac{1}{x}$于$B_1(2,\frac{1}{2})$；
将$y=\frac{1}{2}$代入$y=-x-1$，解得$a_2=-\frac{3}{2}$；
同理可得$a_3=-\frac{1}{3}$，$a_4=2=a_1$，可知横坐标周期为3。
因为$98÷3=32······2$，所以$a_{98}=a_2=-\frac{3}{2}$；
$99÷3=33$，所以$a_{99}=a_3=-\frac{1}{3}$；
$100÷3=33······1$，所以$a_{100}=a_1=2$。
(2) 设$a_1=k$：
将$x=k$代入$y=-x-1$，得$A_1(k,-k-1)$；
将$x=k$代入$y=\frac{1}{x}$，得$B_1(k,\frac{1}{k})$；
将$y=\frac{1}{k}$代入$y=-x-1$，解得$a_2=-\frac{k+1}{k}$；
将$x=-\frac{k+1}{k}$代入$y=\frac{1}{x}$，得$B_2(-\frac{k+1}{k},-\frac{k}{k+1})$；
将$y=-\frac{k}{k+1}$代入$y=-x-1$，解得$a_3=-\frac{1}{k+1}$；
将$x=-\frac{1}{k+1}$代入$y=\frac{1}{x}$，得$B_3(-\frac{1}{k+1},-k-1)$；
将$y=-k-1$代入$y=-x-1$，解得$a_4=k=a_1$，周期为3。
分情况：
当$n=3m+1$时，$a_n=k$；
当$n=3m+2$时，$a_n=-\frac{k+1}{k}$；
当$n=3m+3$时，$a_n=-\frac{1}{k+1}$（$m$为非负整数）。
【答案】
(1) $-\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{3}$，$2$；
(2) 当$n=3m+1$时，$a_n=k$；当$n=3m+2$时，$a_n=-\frac{k+1}{k}$；当$n=3m+3$时，$a_n=-\frac{1}{k+1}$（$m$为非负整数）。
【知识点】
1. 一次函数性质
2. 反比例函数性质
3. 周期规律探究
【点评】
本题通过构造点列探究横坐标的循环规律，考查了一次函数与反比例函数的坐标特征，需熟练掌握函数上点的坐标代入计算，发现周期是解题核心，培养了归纳推理与数形结合的能力。
(1) 当$a_1=2$时：
将$a_1=2$代入$y=-x-1$，得$A_1(2,-3)$；
过$A_1$作$x$轴垂线交$y=\frac{1}{x}$于$B_1(2,\frac{1}{2})$；
将$y=\frac{1}{2}$代入$y=-x-1$，解得$a_2=-\frac{3}{2}$；
同理可得$a_3=-\frac{1}{3}$，$a_4=2=a_1$，可知横坐标周期为3。
因为$98÷3=32······2$，所以$a_{98}=a_2=-\frac{3}{2}$；
$99÷3=33$，所以$a_{99}=a_3=-\frac{1}{3}$；
$100÷3=33······1$，所以$a_{100}=a_1=2$。
(2) 设$a_1=k$：
将$x=k$代入$y=-x-1$，得$A_1(k,-k-1)$；
将$x=k$代入$y=\frac{1}{x}$，得$B_1(k,\frac{1}{k})$；
将$y=\frac{1}{k}$代入$y=-x-1$，解得$a_2=-\frac{k+1}{k}$；
将$x=-\frac{k+1}{k}$代入$y=\frac{1}{x}$，得$B_2(-\frac{k+1}{k},-\frac{k}{k+1})$；
将$y=-\frac{k}{k+1}$代入$y=-x-1$，解得$a_3=-\frac{1}{k+1}$；
将$x=-\frac{1}{k+1}$代入$y=\frac{1}{x}$，得$B_3(-\frac{1}{k+1},-k-1)$；
将$y=-k-1$代入$y=-x-1$，解得$a_4=k=a_1$，周期为3。
分情况：
当$n=3m+1$时，$a_n=k$；
当$n=3m+2$时，$a_n=-\frac{k+1}{k}$；
当$n=3m+3$时，$a_n=-\frac{1}{k+1}$（$m$为非负整数）。
【答案】
(1) $-\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{3}$，$2$；
(2) 当$n=3m+1$时，$a_n=k$；当$n=3m+2$时，$a_n=-\frac{k+1}{k}$；当$n=3m+3$时，$a_n=-\frac{1}{k+1}$（$m$为非负整数）。
【知识点】
1. 一次函数性质
2. 反比例函数性质
3. 周期规律探究
【点评】
本题通过构造点列探究横坐标的循环规律，考查了一次函数与反比例函数的坐标特征，需熟练掌握函数上点的坐标代入计算，发现周期是解题核心，培养了归纳推理与数形结合的能力。
