1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为 E。若△ACD 的面积为 16，AC=8，则 DE 的长为()

A.2
B.3
C.4
D.6

C

过点D作DF⊥AC于点F。因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。已知△ACD的面积为16，AC=8，根据三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}×AC×DF = 16$，即$\frac{1}{2}×8×DF = 16$，解得DF=4，所以DE=DF=4。

2. 如图，在△ABC 中，AC = BC = 5，AB=6，CD⊥AB，∠ABC 的平分线交 CD 于点 E，则 DE=。

$\frac{3}{2}$

由题意，$ △ ABC $ 是等腰三角形，$ AC = BC = 5 $，$ AB = 6 $，$ CD ⊥ AB $。
设 $ D $ 为 $ AB $ 的中点，因为 $ △ ABC $ 是等腰三角形，$ D $ 是 $ AB $ 的中点，所以 $ AD = DB = 3 $。
在直角三角形 $ △ ACD $ 中，利用勾股定理：
$ CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $。
$ ∠ ABC $ 的平分线交 $ CD $ 于 $ E $，根据角平分线定理，角平分线将对边分成与邻边成比例的两部分：
$ \frac{CE}{ED} = \frac{BC}{BD} = \frac{5}{3} $。
设 $ DE = x $，则 $ CE = \ \frac{5}{3}x $，因为 $ CE + ED = CD $，所以：
$ \frac{5}{3}x + x = 4 $。
$ \frac{8}{3}x = 4 $。
$ x = \frac{3}{2} $。
因此，$ DE = \frac{3}{2} $。

3. 如图，BP 是∠ABC 的平分线，DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别是 E，F，DM=DN，且 BN=6，FN=2，则 BM 的长度是。

2

∵BP是∠ABC的平分线，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF（角平分线性质）。
∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠DEM=∠DFN=90°。
在Rt△DEM和Rt△DFN中，∵DM=DN，DE=DF，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴EM=FN=2。
∵BP平分∠ABC，∠BED=∠BFD=90°，BD=BD，∴△BDE≌△BDF（AAS），∴BE=BF。
∵BN=6，FN=2，∴BF=BN-FN=6-2=4，∴BE=BF=4。
设BM=x，∵M在BA上，E为垂足，若M在B、E之间，则BE=BM+ME，即4=x+2，解得x=2。

4. 已知：如图，BD 为∠ABC 的平分线，AB=CB，点 P 在 BD 上，PM⊥AD 于点 M，PN⊥CD 于点 N。
求证：PM=PN。

证明：
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
AB=CB（已知），
∠ABD=∠CBD（已证），
BD=BD（公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS）。
∴∠ADB=∠CDB（全等三角形对应角相等）。
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

5. 提升题 如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D。若 BC=6，AB=10。
(1)求 AC 的长；
(2)过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，求 DE 的长。

(1) 在△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$。
(2) ∵BD为∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DC⊥BC，
∴$DE = DC$（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等），
设$DE = x$，则$DC = x，AD = 8 - x$。
在△BCD与△BED中，
$\begin{cases} ∠ BED = ∠ C = 90^{\circ}, \\ ∠ EBD = ∠ CBD, \\ BD = BD .\end{cases}$
∴△BCD ≌ △BED（AAS），
∴$BE = BC = 6$，
∴$AE = AB - BE = 10 - 6 = 4$，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AE^{2} + DE^{2} = AD^{2}$，
即$4^{2} + x^{2} = (8 - x)^{2}$，
$16 + x^{2} = 64 - 16x + x^{2}$，
$16x = 48$，
$x = 3$，
∴$DE = 3$。