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1. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$，分别以点$A$，$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧，两弧相交于点$M$和点$N$，作直线$MN$，交$AD$于点$P$，则$AP$的长为()
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{7}{8}$
C.$\frac{25}{8}$
D.1
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{7}{8}$
C.$\frac{25}{8}$
D.1
答案
C
解析
∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=DC=3（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²=5²-3²=16，∴AD=4。
由作图知MN是AC的垂直平分线，∴PA=PC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
设AP=x，则PD=4-x，PC=x。
在Rt△PDC中，PD²+DC²=PC²，即(4-x)²+3²=x²，
解得x=25/8，即AP=25/8。
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，分别以点$A$和点$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于$M$，$N$两点，作直线$MN$交$BC$于点$D$，连接$AD$。若$∠ B = 50^{\circ}$，则$∠ DAC =$。
答案
30°
解析
∵AB=AC，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°（等边对等角），
∠BAC=180°-∠B-∠C=80°（三角形内角和定理）。
由作图可知，MN是AB的垂直平分线（线段垂直平分线的尺规作图），
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠BAD=∠B=50°（等边对等角），
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°。
∴∠C=∠B=50°（等边对等角），
∠BAC=180°-∠B-∠C=80°（三角形内角和定理）。
由作图可知，MN是AB的垂直平分线（线段垂直平分线的尺规作图），
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠BAD=∠B=50°（等边对等角），
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°。
3. 如图，要在公路$MN$旁修建一个货物中转站$P$，分别向$A$，$B$两个开发区运货。若要求中转站到$A$，$B$两个开发区的距离相等，则中转站应建在哪里？不写作法，保留作图痕迹。
答案
连接AB，作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与公路MN的交点即为中转站P的位置。（作图痕迹：AB线段、AB的垂直平分线、交点P）
4. 提升题 如图，已知在平面内市政府所在位置的坐标为$(0,3)$，文化宫所在位置的坐标为$(-1,0)$。
（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系，并写出体育馆、医院、市场、火车站所在位置的坐标。
（2）在平面内找一个点，使得该点到市政府、体育馆、医院三者之间的距离相等。请你利用网格画出该点并写出它的坐标。
（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系，并写出体育馆、医院、市场、火车站所在位置的坐标。
（2）在平面内找一个点，使得该点到市政府、体育馆、医院三者之间的距离相等。请你利用网格画出该点并写出它的坐标。
答案
（1）平面直角坐标系如图所示。
体育馆（-5,3）医院（-4,5）市场（2,4）火车站（2，-3）
（2）如图，点P即为所求；该点的坐标为（-2.5,3）
